พิสูจน์ข้อนี้ให้หน่อยครับ.

[ (2^3 - 1 )(3^3 -1 )...(100^3 - 1)] / [[ (2^3 + 1 )(3^3 +1 )...(100^3 + 1)] = 3367/5050

[KS]

ลองดูนะครับ
n^3-1 = (n-1)(n^2+n+1)

n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)

ลองเขียน 3-4 เทอมแรกดู
ข้างบน
1*7 2*13 3*21 4*31

ข้างล่าง
3*3 4*7 5*13 6*21

จะเห็นว่้า มันจะมีการตัดกันไปเป็นทอดๆ
ผลสุดท้ายเมื่อ n=100,

= 2*10101/(100*101)/3
ต้ดไปตัดมา
= 3367/5050
จบแย้ว

จะแสดงรูปแบบให้เห็นว่า ข้างบนกับข้างล่างตัดกันได้
ให้ K = [(2^3 - 1)(3^3 - 1)...(100^3 - 1)] / [(2^3 + 1)(3^3 + 1)...(100^3 + 1)]
พิจารณา (n+1)^3 - 1 = n(n^2 + 3n + 3)
และ (n+2)^3 + 1 = (n+3)(n^2 + 3n + 3)
นั่นคือ [(n+1)^3 - 1]/[(n+2)^3 + 1] = n/(n+3)
แทนค่า n = 1 ถึง 98
n = 1 : (2^3 - 1)/(3^3 + 1) = 1/4
n = 2 : (3^3 - 1)/(4^3 + 1) = 2/5
n = 3 : (4^3 - 1)/(5^3 + 1) = 3/6
n = 4 : (5^3 - 1)/(6^3 + 1) = 4/7
......
n = 95 : (96^3 - 1)/(97^3 + 1) = 95/98
n = 96 : (97^3 - 1)/(98^3 + 1) = 96/99
n = 97 : (98^3 - 1)/(99^3 + 1) = 97/100
n = 98 : (99^3 - 1)/(100^3 + 1) = 98/101
เมื่อคูณสมการข้างบนเข้าด้วยกัน จะได้
ข้างซ้าย = K*(2^3 + 1)/(100^3 - 1) = K*(9/999999)
ข้างขวาตัดกันไปเหลือ = (1*2*3)/(99*100*101)
ดังนั้น K/111111 = 1/(33*50*101)
K = (111111)/(33*50*101) = (33*3367)/(33*5050) = 3367/5050