เชิงซ้อนฮะ อยากรู้ว่ามันมีวิธีการคิดอย่างไรช่วยอธิบายด้วยคับ ???

[Madagasgaman]

อ่าก่อนอื่นต้องขอบคุณก่อนเลยสำหรับคนที่เข้ามาเฉลยคับ ขอบคุณมากคับ

ข้อ 1คับ
ถ้า $Z_1,Z_2$คือรากของ $Z^{36} = 2^{36}$ จงหาความน่าจะเป็นซึ่ง $\vmatrix{Z_1 -& Z_2 }\leqslant 2 $

ข้อ2 คับ

ถ้า W คือคำตอบที่เป็นจำนวนจินตภาพคำตอบหนึ่งของ $Z^5 = 1$ แล้วคำตอบ $(1+w-w^2+w^3+w^4)\times (1+w+w^2-w^3+w^4)$

ข้อ3คับ
กำหนดเซตของจำนวนเชิงซ้อน $A = \Bmatrix{Z/Z^{18} &= 1 }$ และ $B = \Bmatrix{Z/Z^{48} &= 1 } $ ถ้า$C= \Bmatrix{Z_1Z_2/Z_1 \in A\wedge Z_2 \in B } \Rightarrow n(C) เป็นเท่าใด$

ข้อ4คับ

กำหนดสมการของจำนวนเชิงซ้อน $x^{10}+(13x-1)^{10}=0$มีคำตอบ 10 คำตอบคือ $a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4,a_5,b_5$ โดยที่$a_i,b_i;i=1,2,3,4,5 $เป็นคู่สังยุคกันจนครบ5คู่ จงหาค่าของ $\sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{a_ib_i}$

ข้อ 5คับ

กำหนดให้ a เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้รากทุกตัวของสมการ$Z^3+aZ^2+(1-i)Z-i=0 มีขนาดเท่ากับ 1 แล้วจงหา \vmatrix{a}$

ข้อ6 คับ

กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $z_1=a,z_2=b(cos\theta +isin\theta )โดยที่ a>0,b>0 และ 0 <\theta< \frac{\pi }{2} ถ้า 2i\vmatrix{z_1z_2} sin\theta = c\overline{z_1}z_2+dz_1\overline{z_2}$โดยที่c,d เป็นจำนวนจริงแล้ว 5c+2d มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1.4 2.3 3.2 4.1

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Madagasgaman

ข้อ2 คับ

ถ้า W คือคำตอบที่เป็นจำนวนจินตภาพคำตอบหนึ่งของ $Z^5 = 1$ แล้วคำตอบ $(1+w-w^2+w^3+w^4)\times (1+w+w^2-w^3+w^4)$

from $w^5=1$ because $w$ is complex number
we get that $w^4+w^3+w^2+w+1=0$

so...
$(1+w-w^2+w^3+w^4)\times (1+w+w^2-w^3+w^4)$

= $(1+w+w^2+w^3+w^4-2w^2)(1+w+w^2+w^3+w^4-2w^3)$

= $4w^5$

= $4$

[Madagasgaman]

โห! ตอบเร็วมากเลยคับอังกฤษด้วย เกือบงง!! ข้อต่อไปเป็นภาษาไทย ! ดีกว่าไหม 55+ ขอบคุณคับที่ช่วยตอบคำถาม

[Brownian]

ข้อแรก ครับ
Solved เราพบว่า $z_k=2cis\left(\displaystyle{\frac{2k\pi}{36}}\right);\qquad k=0,1,2,...,35$
พิจารณาใคร่ครวญ $i,j$ ใดๆ ในเซต $\left\{\,0,1,2,...,35\right\}$

$\displaystyle{z_i-z_j=2\left(cis\frac{2i\pi}{36}-cis\frac{2j\pi}{36}\right)
=2\left(\cos\frac{2i\pi}{36}-\cos\frac{2j\pi}{36}+i\left(\sin\frac{2i\pi}{36}-\sin\frac{2j\pi}{36}\right)\right)}$

$\displaystyle{=2\left(-2\sin\frac{(i+j)\pi}{36}\sin\frac{(i-j)\pi}{36}+2i\cos\frac{(i+j)\pi}{36}\sin\frac{(i-j)\pi}{36}\right)}$

$\displaystyle{=4\left(\sin\frac{(i-j)\pi}{36}\right)\left(-\sin\frac{(i+j)\pi}{36}+i\cos\frac{(i+j)\pi}{36}\right)}$

ดังนั้น $\displaystyle{\left|z_i-z_j\right|=4\left|\sin\frac{(i-j)\pi}{36}\right|\leqslant 2}$

นั่นคือ $\displaystyle{-\frac{1}{2}\leqslant\sin\frac{(i-j)\pi}{36}\leqslant\frac{1}{2}}$

ทำต่ออีกนิดจะได้ว่า $\displaystyle{-6\leqslant i-j\leqslant 6}$ และ $\displaystyle{30\leqslant i-j\leqslant 42}$

ทำต่อเลยคับ ขี้เกียจแล้ว หะหะ

[Madagasgaman]

คำตอบ คือ $\frac{2}{7}$ แล้วผมจาทำยังให้ ให้ได้มาเนี่ย งงคับ ช่วยอีกนิด

[KizPer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Madagasgaman

ข้อ6 คับ

กำหนดจำนวนเชิงซ้อน $z_1=a,z_2=b(cos\theta +isin\theta )โดยที่ a>0,b>0 และ 0 <\theta< \frac{\pi }{2} ถ้า 2i\vmatrix{z_1z_2} sin\theta = c\overline{z_1}z_2+dz_1\overline{z_2}$โดยที่c,d เป็นจำนวนจริงแล้ว 5c+2d มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1.4 2.3 3.2 4.1

จัดรูป
$2i\vmatrix{z_1z_2} sin\theta = c\overline{z_1}z_2+dz_1\overline{z_2}$
จะได้เป็น $2i\vmatrix{z_1z_2} sin\theta = c(a)(b)(cis\theta) + d(a)(b)(cis(2\pi -\theta))$

$2i (a)(b)sin\theta = (a)(b)[c(cos\theta) - d(cos\theta) + ci(sin\theta) - di(sin\theta)]$

เทียบ สปส . $(ab)[c(cos\theta) - d(cos\theta)] = 0$
ได้ c = -d
$(ab)[ci(sin\theta) - di(sin\theta)] = 2i (a)(b)sin\theta$
ก็จะได้ c , d