พหุนาม...นี้อธิบายหน่อยนะครับ

[pee]

วันนี้ผมเอาโจทย์ข้อหนึ่งให้เด็กทำก็ช่วยกันคิดน่ะครับ...
x +x^3+x^9+x^27+x^81+x^243 หารด้วย x^2 -1 เหลือเศษเท่าใด
ข้อนี้มีการอธิบายอยู่แบบหนึ่งแล้วนะครับ...แต่ต้องใช้ sense เยอะ ผมอยากอธิบายให้เด็กเห็นภาพชัด ๆ น่ะครับ ช่วยผมหน่อยนะครับ....จากใจจริง

ตั้งดิวิชั่นอัลกอลิทึม แทน x ด้วย 1และ-1 ก้็ได้เศษแล้วคับ

ก็เอาแบบนี้ได้มั้ยครับ โดยการดึงตัวร่วม x ออกจะเห็นว่า
polynomial ข้างบนจะสามารถเขียนได้ในรูป x*P(x^2)
ถ้าจะไม่ให้งงก็ให้ y = x^2 เราจะได้ว่า
x*P(x^2)/(x^2-1) = x*P(y)/(y-1) = x*(Q(y) + P(1)/(y-1)) = x*Q(y) + x*P(1)/(y-1) = x*Q(x^2) + 6x/(x^2-1)
ดังนั้นเศษของการหารคือ 6x
เวลาอธิบายให้เด็กฟังก็ต้องอธิบายแต่ละขั้นอย่างละเอียดและ
เขียน polynomial ทุกตัวยกเว้น Q(x) เป็นแบบเต็มๆเลย
เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เป็นไงครับแบบนี้

[TOP]

ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x กำลังต่างๆกัน เป็นเลขจำนวนเต็มไม่เกิน 9 ผมว่านำมาเปรียบเทียบกับ การหารเลขธรรมดาก็ได้นะครับ เช่น x^2 + 2x + 3 หารด้วย x + 1 เหลือเศษเท่าไร ก็จะกลายเป็นว่า 123 หารด้วย 11 เหลือเศษเท่าไร ซึ่ง 123 หารด้วย 11 จะเหลือเศษเป็น 2 ซึ่งก็เป็นเศษจากการหาร x^2 + 2x + 3 หารด้วย x + 1 เช่นกัน แนวความคิดนี้ก็เพื่อจะบอกว่าในการหารพหุนามนั้นมันก็เหมือนกับการหารเลขธรรมดานั่นแหละ เพราะระบบตัวเลขที่เราใช้กันอยู่ในปัจจุบันอาศัย ตำแหน่งที่ตัวเลขอยู่ช่วยในการกำหนดค่าจำนวนนั้นด้วย พหุนามก็เช่นเดียวกัน เราจะอาศัยดีกรีของ x เป็นตัวช่วยกำหนดค่าของพหุนามด้วย ดังนั้นเวลาจะหารพหุนาม ก็ต้องจัดมันให้เหมือนกับตัวเลขที่เราใช้กันอยู่ซะก่อน(เรียงตามดีกรี) จากนั้นก็ทำการหารเหมือนกับการหารเลขธรรมดาทั่วไป