Warm Up !

[passer-by]

ข้อ 11,22 คำตอบของน้อง R-Tummykung De lamar ถูกแล้วครับ
และสำหรับ ข้อ 22 สิ่งที่น้อง กำลังทำ เกือบจะเป็น row operation แล้วครับ
syntax ของการทำ row operation ที่พี่ใช้ (ปัจจุบัน ไม่รู้ ยังเขียนประมาณนี้รึป่าว) จะเป็น
R_j ฎ cR_i+R_j เมื่อ cน0
ซึ่งหมายความว่า นำค่าคงที่ c ไปคูณแถวที่ i แล้วไปบวกแถวที่ j แล้ว replace แถวที่ j ด้วยค่านี้
ถ้าไม่อยากแก้สมการกำลังสาม ข้อนี้ อาจใช้ row operation 2 ครั้ง ตามลำดับดังนี้
1.1 R₁ฎ (1)(R₂)+R₁
1.2 R₃ฎ (1)(R₁)+R₃
และจะได้แถวสุดท้าย มี 0 ตั้ง 2 ตัว เวลา หา det สบายใจกว่าเดิมเยอะ

ส่วนคำตอบและคำอธิบายของน้อง Char Aznable โดยรวมก็ O.K. ครับ จะมีก็แต่

2.1 ข้อ 5 เกือบถูกแล้ว ต้องเลือก n= k(k-1)/2+1 นะครับ

2.2 ข้อ 6 ที่น้องเขียน tan ต้องเป็น sin ครับ แต่คำตอบถูกแล้ว ส่วนวิธีแบบที่ใช้เรขาคณิต อาจทำได้ดังนี้ครับ
จากโจทย์ กำหนด BP =x, PC=2x ลาก CD ตั้งฉากกับ AP ที่ D จะได้ DP=x ด้วย
ต่อไปก็ลาก BD ซึ่งจะทำให้ BD=AD=DC นั่นคือทำให้ สามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วด้วย ดังนั้นมุม ACB= 30+45=75 องศา

2.3 ข้อ 14 สามารถอธิบายสั้นๆ แบบบรรทัดเดียวจบ ได้ดังนี้
เพราะ b² < b²+b+1 =a² <(b+1)² ดังนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะมี a,b ดังกล่าว

เกือบลืมบอกไป 1 อย่าง เวลาสอบจริงๆ ถ้ามีพิสูจน์ อยากให้เขียนละเอียดระดับหนึ่ง และเรียบเรียงภาษาดีๆนะครับ เขียนใน board นี้ ย่อมากๆ ได้ แต่สอบจริง อย่าทำนะครับ
ที่ต้องมาเตือนเพราะว่า เคยคุยกับ คนที่สอน เด็ก สอวน. แล้วเขาบ่นๆ ว่า มีเด็กบางคน รู้แต่ อธิบายเป็นตัวหนังสือไม่รู้เรื่อง หรือเขียนสั้นเกินไป เดี๋ยวจะเสียคะแนนฟรีๆ นะคร้าบ

ตรวจงานเสร็จแล้ว ก็ต้อง ถามกันต่อไป

23. หาค่า x ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ \( \large x^{3}-3x=\sqrt{x+2} \)

24. พิสูจน์ว่า พหุนามที่มีรากทุกรากเป็นจำนวนจริง และ สัมประสิทธิ์ทุกตัว เป็นฑ1 จะมีดีกรีอย่างมากเป็น 3

25. กำหนดลำดับ Fibonacci ที่มี F₀=F₁=1 หาจำนวนเต็ม n ทั้งหมด ในช่วง [0,100] ที่ทำให้ 13 หาร F_n ลงตัว

26. กำหนด \( \large sin10^{\circ}=0.1736 \) และ
\[ \large \sqrt{sin^{4}25^{\circ}+4cos^{2}25^{\circ}} - \sqrt{cos^{4}25^{\circ}+4sin^{2}25^{\circ}}=\sqrt{k} \] หา exact value ของ k จากข้อมูลที่มีอยู่

คราวนี้ ยากกว่าเดิมนิดหน่อย แต่คงไม่เกินความสามารถน้องๆใช่มั้ยครับ

[Char Aznable]

ขอบคุณพี่ๆมากครับ จะพยายามปรับปรุงเรื่องการเขียนและก็บางข้อรีบพิมเลยพิมผิดไปหน่อยครับ และก็ข้อ 11 ก็ขอบคุณtummykungที่บอกนะครับรีบไปหน่อย

[nongtum]

ข้อ 19 ถูกแล้วครับ ถือว่าเป็น quickies แก้เซ็งตอนทำข้ออื่นไม่ได้ละกัน

ว่าแล้วก็เพิ่มโจทย์ต่อ ความยากง่ายคละกันเหมือนเดิม

27. เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเป็นลบและผ่านจุด C(1,1) และตัดแกน x และ y ที่จุด D และ E ตามลำดับ ให้จุด O เป็นจุดกำเนิด จงแสดงว่า พื้นที่DODE ณ2

28. เรียงเลขโดด 1,2,3,4,5,6 เป็นเลขหกหลัก จงหาความน่าจะเป็นที่เลขที่ได้ i) หาร 11 ลงตัว ii) หาร 9 แล้วได้เศษเป้นเลขคี่

29. มีจำนวนนับระหว่าง 1-10²⁰⁰⁵ ทั้งหมดกี่ตัวที่ผลรวมของเลขโดดเป็น 2

30. จากรูป ให้สี่เหลี่ยมย่อย ABGH, BCFG, CDEF เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาขนาดของมุม DIF

[passer-by]

เพิ่ม Hint ให้ 1 ข้อแล้วกัน เผื่อจะได้มีไอเดีย

HINT Question 24

ใช้ AM-GM inequality มาช่วย อาจง่ายขึ้น

แต่จะไม่เชื่อ hint ก็ได้ครับ วิธีจะได้หลากหลาย

ส่วนข้อง่ายๆ ก็ยังเหลือ นะครับ เช่น ข้อ 17,30 ของคุณ nongtum

[Char Aznable]

ข้อ 12 : จาก arctan 2/n² = arctan (1-n) + arctan (1+n)
จะได้ ผลบวกในโจทย์คือ p/2

ปล.ขออภัยด้วยนะครับที่ผมไม่มีเวลาโพสวิธีทำแบบละเอียด

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 12 ผมได้ \( \displaystyle{\frac{3\pi}{4}}\) อะครับ
ผมใช้ความจริงที่คุณ Char Aznable บอกมาคือ \(\displaystyle{\arctan \frac{2}{n^2}\ =\ \arctan (n+1) + \arctan (1-n)} \) ผมดึง -1 ออกมา (เพราะ \(\arctan(-n)\ =\ -\arctan(n) \)
เป็น \(\displaystyle{\arctan \frac{2}{n^2}\ =\ \arctan (n+1) - \arctan (n-1)} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{lcl} n\ =\ 1&\Rightarrow&\arctan (2)-\arctan(0)\\n\ =\ 2&\Rightarrow&\arctan (3)-\arctan(1)\\n\ =\ 3&\Rightarrow&\arctan (4)-\arctan(2) \\ \vdots \\n\ =\ k-1&\Rightarrow&\arctan (k)-\arctan(k-2) \\n\ =\ k&\Rightarrow&\arctan (k+1)-\arctan(k-1)\\n\ =\ k+1&\Rightarrow&\arctan (k+2)-\arctan(k)\end{array}} \)

ตัดๆกันหมด (ไม่แน่ใจว่าเรียกว่า Telescope รึเปล่า) เหลือ \( \displaystyle{-\arctan (0) - \arctan (1) + \arctan(k+1) + \arctan(k+2)}\)
แล้ว \( \displaystyle{\arctan (p) = \frac{\pi}{2}\quad เมื่อ\ p \rightarrow \infty \ \ (อันนี้คุณ M@gpie สอนครับ\ \ } \) )
ดังนั้น ตัวนี้มีค่าคือ \( \displaystyle{\ \ -0-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\ =\ \frac{3\pi}{4}\ \ ครับผม} \)


ขอกวาดข้อง่ายๆก่อนนะครับ (ยากๆทำไม่เป็น )
ข้อที่ 30
จากรูปได้ \( \displaystyle{D \widehat HE \ =\ \arctan (\frac{1}{3})} \) และ \(\ \ \displaystyle{A \widehat FH \ =\ \arctan (\frac{1}{2})} \)
ดังนั้น \(\ \ \displaystyle{D \widehat IF \ =\ A \widehat FH \ +D \widehat HE \ =\ \arctan (\frac{1}{2}) +\arctan (\frac{1}{3})} \)
ใช้ความจริง \( \displaystyle{\arctan (x)+\arctan (y)\ =\ \arctan \big(\frac{x+y}{1-xy}\big),xy<1} \)
ก็จะได้ \(\displaystyle{\arctan (\frac{1}{2}) +\arctan (\frac{1}{3}) \ =\ \arctan (1) \ =\ \frac{\pi}{4} } \)

[nongtum]

ข้อ 30 ตอบถูกแล้วครับ จะขอเสริมวิธีไม้ตาย(เมื่อใช้วิธีอื่นแล้วคิดไม่ออก)โดยใช้ข้อนี้เป็นตัวอย่างดังนี้
หากมองว่าจุด H เป็นจุดกำเนิดและด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวหนึ่งหน่วย จะได้สมการของเส้นตรงทั้งสองเป็น \(l_1:y=\frac{1}{3}x\) และ \(l_2:y=-\frac{1}{2}x+1\) ซึ่งตัดกันที่ I(6/5,2/5) และสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ \(l_2\) และผ่านจุดกำเนิดคือ y=2x ซึ่งตัดกับเส้นตรง \(l_2\) ที่จุด (2/5,4/5) ดังนั้น \(tan(A\hat IH)=\frac{\sqrt{16+4}/5}{\sqrt{16+4}/5}=1\) หรือมุม DIF มีขนาดเป็น 45 องศานั่นเอง

ขอสรุปข้อที่ยังไม่มีคนตอบ แยกตามคนออกโจทย์ ดังนี้
nongtum: 10,17,18,20,21,27,28,29,31 (ทุกข้อยกเว้นข้อ 10 ง่ายกว่าที่เห็นครับ ส่วนข้อสิบไม่จำเป็นต้องตอบแบบ exact ครับ)
passer-by: 16,23,24,25,26

ไว้ว่างๆจะมาเพิ่มโจทย์ต่อครับ (ข้อ 12 น่าจะตอบ \(-\frac{\pi}{4}\) มากกว่านา ยังไงรบกวนคุณ Passer-by มาตรวจการบ้านด้วยครับ)

[passer-by]

คำอธิบายและคำตอบของน้อง Tummykung ถูกแล้วครับ
จริงๆ ข้อนี้ มีวิธี transform ได้หลายแบบ เช่น อาจจะให้
arctan(2/n²)=arctan( 1/(n-1)) - arctan(1/(n+1)) เมื่อ nณ2 ก็ได้

ส่วนที่คุณ nongtum สงสัยว่าทำไมไม่ใช่ -p/4 ผมว่า คำตอบนี้ ไม่ valid นะครับ เพราะ 2/n² >0 ดังนั้น arctan( 2/n²) อยู่ในช่วง (0,p/2) ซึ่ง เมื่อนำมาบวกกัน infinite terms ยังไงก็ต้องไม่ติดลบครับ

ผมสังเกตได้อย่างหนึ่งว่า ถ้ามีคน 2 คน ใช้วิธีแบบน้อง Tummykung แต่จบด้วยรูปแบบต่างกัน คนแรกบวกกันแล้วตัดกันไปเรื่อยๆ ก็จะตอบ -p/4 (สงสัยคุณ nongtum น่าจะใช้วิธีนี้) กับอีกคนที่ take limit ให้ partial sum อย่างที่น้อง tummykung ทำตอนท้าย ก็จะตอบ 3p/4

แสดงว่า serie ตระกูล arctan ต้องรอบคอบพอสมควร เวลาสอบจริงๆ

สำหรับน้อง Char Aznable ที่ไม่ได้ post วิธีทำ อันนี้ไม่เป็นไรครับ เพราะยังไงการบ้านและงานมหาศาลจากโรงเรียนต้องมาอันดับหนึ่งครับ

อ้อ! เกือบลืมไป
1.1 ข้อ 1 ถ้าไม่อยากวุ่นวายกับ modulo ให้สังเกตว่า ตั้งแต่ n=4,5,6,... summation ทางขวาลงท้ายด้วย 3 เสมอ ดังนั้นไม่มี square ของ m ที่เป็นไปได้ ก็เลยมีทางเลือกแค่ n=1,2,3 ซึ่งเมื่อ ตรวจสอบทีละตัว ก็จะได้คำตอบครับ
1.2 ใครรู้วันสอบโอลิมปิก สสวท. รอบแรกของเลข บอกกันด้วยเน้อ เดี๋ยวจะ warm up กันเมามันเกินเหตุ

[R-Tummykung de Lamar]

วันที่สอบสสวท.รอบแรกคือวันที่ 2-3 กรกฎาคม ครับผม ซึ่งผมไม่แน่ใจว่าเลขนี่ วันแรก หรือวันที่สองครับ

[passer-by]

วันพฤหัสที่ 30 มิ.ย. จะมา post เฉลยข้อที่คั่งค้างของผมให้นะครับ เผื่อไว้ดูก่อนสอบจริงวันที่ 2-3 ก.ค. ดังนั้นตอนนี้ น้องๆอยากจะตอบข้อไหน ก็เชิญโดยด่วนนะครับ ยังรอตรวจคำตอบและให้คำแนะนำเหมือนเคยคร้าบผม

[R-Tummykung de Lamar]

งั้นผมขอทำ ข้อที่ 20 ก่อนนะครับ
a.) \( \displaystyle{จาก\ \ \log _x (2.5- \frac{1}{x})>1} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{rcrcl} กรณีที่ 1
&0<x<1\ \ จะได้&2.5-\frac{1}{x}&<&x\\&&2x^2-5x+2&>&0&(คูณตลอดด้วย\ 2x\ ซึ่งมากกว่า\ 0)\\&&(2x-1)(x-2)&>&0\\&&x&\in& \big(0,\frac{1}{2}\big)\\กรณีที่ 2
&x>1&...\\&&(2x-1)(x-2)&<&0\\&&x&\in& \big(1,2\big) \end{array}} \)

\( \displaystyle{ดังนั้น\ \ x\ \in \ \big(0,\frac{1}{2}\big)\cup \big(1,2\big)}\)

b.)
\( \displaystyle{\begin{array}{lrcl}จาก\ \ &\sin (n\pi)&=&0&,n\in I\\จะได้&x-\sqrt{x^2-3x+2}&=&3n\\&x-3n&=&\sqrt{x^2-3x+2}\\&x^2-6nx+9n^2&=&x^2-3x+2\\&-3(2n+1)x&=&2-9n^2\\&x&=&\frac{2-9n^2}{-3(2n+1)} \end{array}} \)
ซึ่งพบว่า ไม่มีทางเป็นจำนวนเต็มครับ

[nongtum]

ข้อยี่สิบถูกแล้วครับ การแก้สมการจำพวกนี้ไม่ระวังอาจผิดได้ง่ายๆนะเนี่ย

ในช่วงสัปดาห์สุดท้ายนี้ขอออก quickies อีกสักข้อละกัน

31. จำนวนใดมีค่ามากกว่า
a) 17¹⁴, 31¹¹
b) \(\displaystyle\Large{2003^{2004^{2005}}, 2005^{2004^{2003}}}\)

Deadline สำหรับคำถามในส่วนที่เหลือ เอาเป็นวันที่ 30 มิถุนายน 2005 เวลา 23:59:59 ละกันครับ แต่หากใครต้องการจะถามทฤษฎีหรือไม่แน่ใจคำถามตรงไหนทั้งในและนอกกระทู้ ก็ถามได้เรื่อยๆครับ

[gon]

มาถึงหน้าที่ 2 กันจนได้นะครับ. อยากให้น้อง ๆ แถวนี้ได้เป็นตัวแทนกันทุกคนเลย คว้าเหรียญทองเลขเหรียญต่อไปติดต่อกันทุกปี ใน My Maths ฉบับที่ 7 (ฉบับเดือนมะรืน) จะมีบทสัมภาษณ์ของ น้อง ธนสิน ด้วยนะครับ คงจะช่วยเติมไฟกันให้ได้ไม่มากก็น้อย แต่ที่สำคัญที่สุดอยากใ้ห้ชอบเลขได้ตลอดไป

[passer-by]

ที่คุณ nongtum เสนอมาก็ O.K. ครับ สรุปว่า ผมก็จะรอคำตอบจนหยดสุดท้ายถึงวันที่ 30 มิ.ย. แล้วพอเข้าวันที่ 1 ก.ค. คงได้เห็น คำอธิบายและคำตอบข้อที่ยัง blank อยู่แน่นอน

ส่วนตัวแล้ว ตอนนี้ที่รอเป็นพิเศษ คือน้องๆ ที่จะมาพิชิตข้อ 23 ,24
ถ้าทำได้และทำถูก ก็ถือว่า maths olympiad สสวท. หมูอู๊ดๆ แน่นอนครับ

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 23 ยากจังครับ
ถ้า x เป็นจำนวนจริงนี่ สามารถแสดงว่า x = 2 คำตอบเดียวได้ไม่ยากครับ แต่ ถ้าเป็นเชิงซ้อนนี่สิครับ ปวดหัวน่าดู

..จะพยายามคิดต่อไปครับ (หรือถ้าสิ้นคิดแล้วจะรอแนวคิดสวยๆครับผม )