operator

กำหนด operator x@y = (x+y)/(1+xy)
จงหาค่าของ
( ...(((((2@3)@4)@5)...)@2000)@2001)

[gon]

ถ้าใช้สัญลักษณ์ x(n) แทน x แล้ว subscript(ตัวห้อย) ด้วย n
เราจะสามารถพิสูจน์ได้ว่า
ถ้า x(1) * x(2) = [ x(1) + x(2) ] / ( 1 + x(1)x(2) ]
แล้วจะได้ว่า
x(1) * x2 * x(3) * ... * x(n) จะมีค่าดังนี้
เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
จะได้ = [S(1) + S(3) + S(5) + ... + S(n) ] / [ 1 + S(2) + S(4) + ... + S(n-1) ]
เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
จะได้ = [S(1) + S(3) + S(5) + ... + S(n-1) ] / [ 1 + S(2) + S(4) + ... + S(n) ]
หมายเหตุ
S(1) แทน x(1) + x(2) + ... + x(n)
S(2) แทน x(1)x(2) + x(2)x(3) + ... + x(i)x(j)
S(n) แทน ซิกม่า x(i)x(j) x(k) ..............
อย่างข้อนี้ 2 ถึง 2001 มีจำนวนตัวเท่ากับ
2001 - 2 + 1 = 2000 ตัว เป็นเลขคู่ จึงใช้แบบที่สอง

[ 31 มีนาคม 2001: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้วจากคุณ: gon ]

[TOP]

คิดต่อให้ละกัน

จากสูตรดังกล่าวจะได้ว่า
( ...(((((2@3)@4)@5)...)@2000)@2001) = [s(1) + s(3) + s(5) + ... + s(1999) ] / [ 1 + s(2) + s(4) + ... + s(2000) ]

พิจารณาพหุนามต่อไปนี้
f(x) = (x - 2)(x - 3)(x - 4) ... (x - 2001)
= x^2000 - (2+3+4+...+2001)x^1999 + (2*3+2*4+...)x^1998 - (2*3*4+...)x^1997 + ... +(2*3*4*...*2001)
= s(0)x^2000 - s(1)x^1999 + s(2)x^1998 - s(3)x^1997 +... + s(2000)

จะได้ว่า f(1) = (-1)(-2)(-3)...(-2000) = 2000 !
= s(0) - s(1) + s(2) - s(3) + ... + s(2000)
ดังนั้น s(0) - s(1) + s(2) - s(3) + ... + s(2000) = 2000 ! -----(1)

นอกจากนี้ f(-1) = (-3)(-4)(-5)...(-2002) = 2002 ! / 2
= s(0) + s(1) + s(2) + s(3) + ... + s(2000)
ดังนั้น s(0) + s(1) + s(2) + s(3) + ... + s(2000) = 2002 ! / 2 -----(2)

นำ (1) + (2) จะได้ว่า
2 [s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000)] = 2000 ! + 2002 ! / 2
s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000) = 2000 ! / 2 + 2002 ! / 4 -----(3)

จาก (1) จะได้ว่า
-2000 ! + s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000) = s(1) + s(3) + s(5) + ... + s(1999)
หรือ -2000 ! / [s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000)] + 1 = [s(1) + s(3) + s(5) + ... + s(1999)] / [s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000)]
แทนค่า (3) ทางด้านซ้ายมือจะได้ว่า
[s(1) + s(3) + s(5) + ... + s(1999)] / [s(0) + s(2) + s(4) + ... + s(2000)]
= -2000 ! / [2000 ! / 2 + 2002 ! / 4] + 1
= (2001*2002 - 2) / (2001*2002 + 2)
= 1001500 / 1001501

vcharkarn