cos A + cos 2A + cos 3A + ... + cos nA = ??

[xlover13]

ผมได้อ่านเสริมประสบการณ์ชุดที่ 18 แล้วครับ
แล้วก็ เลยนั่งคิด
cos A + cos 2A + cos 3A + ... + cos nA
ดูว่าเท่ากับเท่าไหร่ แต่ทำแล้วมันติดน่ะครับ
(ที่ได้ตอนนี้ได้แต่
cos A + cos 3A + cos 5A + ... + cos (2n-1)A
น่ะครับ)
ช่วยคิดหน่อยนะครับ
ขอบคุณมากครับ

[KS]

cos A + cos 2A + ... + cos nA

= (e^Ai + e^-Ai)/2+ (e^2Ai + e^-2Ai)/2+...+(e^2nAi + e^-nAi)/2

= 1/2(sum e^ANi)+1/2(sum e^-ANi) ; N=1:n

= 1/2(1-e^A(n+1)i)/(1-e^Ai)
+1/2(1-e^-A(n+1)i)/(1-e^-Ai)

ทำการ simplify กับใช้ Euler และ trick Identity...
จะได้คำตอบกลับมาในรูปของตรีโกณ
ขออนุญาตไม่ทำนะครับ ลองทำดูจะได้เก่งขึ้น แนะแนวทางแล้ว แต่จะมาตรวจคำตอบให้

[gon]

น้องไม่ได้อ่านเสริมชุดที่ 1. เลยไม่เข้าใจว่า
เราต้องเอาค่าของ 2sin มุม ? มาคูณ เพื่อให้เกิดผลต่างที่ตัดกันได้
คือ เราต้องเอา 2sin (delta/2) มาคูณ เมื่อ delta คือผลต่างร่วมของมุม
อ่านในเสริมชุดที่ 1. สิครับ. ทั้งวิธีคิด และก็ข้อที่น้องว่ามานี้
ก็ตรงกับ แบบฝึกหัดข้อที่ 3. ไงครับ. เฉลยก็มีแล้ว
ส่วนวิธีการของคุณ KS. นั้น น้องจะต้องทราบ ทฤษฎีบทของเดอมัวร์ที่ว่า
e^(ix) = cos(x) + i sin(x) .....(1) ซะก่อน
ถ้าเราแทนค่า x ด้วย -x ลงไป จะได้
e^(-ix) = cos(-x) + isin(-x)
= cos(x) - i sin(x) .....(2)
จากนั้นนำสมการ (1) และ (2) มาบวกกันและลบกันจะได้ค่าของ
cos(x) และ sin(x) ในรูปของ e และ i
แล้วจากนั้น จะต้องมีความรู้เรื่องลำดับเรขาคณิต
คือหาผลบวกของมันได้ โดยใช้สูตร S = a(1) [ 1 - r^n ] / [ 1 - r ]
note . a(1) แทน a ตัวห้อย 1
ซึ่งเนื้อหาอยู่ในเรื่องลำดับและอนุกรม ม.6
note. ส่วนการจะพิสูจน์ว่า ทำไม e^(ix) = cos(x) + i sin(x)
เราจะต้องรู้เนื้อหาไปอีกว่า sin(x) และ cos(x) จะสามารถเขียนกระจายออกมาเป็นผลบวกของ
พหุนาม เช่น สมมติว่า sin (x) = x - x^3/3! + x^5/5! - .....อะไรเป็นต้น..(มั่ว ๆ ตัวเลขเอานะครับ)

[xlover13]

ขอบคุณพี่มังกรกับคุณ ks มากนะครับ
แต่ว่าที่คุณ ks แนะนำ ผมยังไม่ได้เรียน
เลยครับ (เพิ่งจบ ม.6 ครับ ^_^)
เดี๋ยวผมจะไปอ่านเสริม 1 นะครับพี่มังกร

[KS]

ลืมไปครับว่า แถวนี้มี น้องมัธยมอยู่ด้วย
ขอให้โชคดีครับ