โจทย์จากรัสเซีย

ได้มาตอนไปเข้าค่ายโอลิมปิก
โจทย์มีอยู่ว่า
Positive x, y, z satisfy a system
x^2 + xy + (y^2)/3 = 25
(y^2)/3 + z^2 = 9
z^2 + zx + x^2 = 16
Find the value of (xy + 2yz + 3zx) expression
(คงแปลกันออกนะ)
คิดได้ช่วยบอกที คิดเท่าไรก็ไม่ออก
หรือมี idea แปลกๆ ใหม่ๆ อะไรก็บอกมาได้

ข้อนี้ยากจังเลย คำตอบคือ 24*sqrt(3) (=41.569...) ใช่มั้ยครับ ผมว่า
โจทย์นี้น่าจะมีเฉลยอยู่บนเน็ตที่ไหนสักแห่งนา ลอง search ดูรึยังครับ
ผมไม่แสดงวิธีทำของผมให้ดูหรอกเพราะมันน่าเกลียดมากถึงมากที่สุด

เย้...หาวิธีทำที่ไม่น่าเกลียด(จนเกินไป)ได้แล้ว
เรามี
(1) x^2 + xy + y^2/3 = 25
(2) y^2/3 + z^2 = 9
(3) z^2 + zx + x^2 = 16
(3)+(2)-(1) จะได้ 2z^2 + zx - xy = 0 นั่นคือ
(4) 2z + x = xy/z
(5) (2z + x)^2 = x^2*y^2/z^2 = 3x^2*(9 - z^2)/z^2 โดยการแทนค่าจาก (2)
โดยการทำกำลังสองสัมบูรณ์ใน 4*(3) จะได้
(6) (2z + x)^2 + 3x^2 - 64 = 0
((5)-(6))/(3x^2) จะได้
64/3x^2 = 9/z^2
เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า x,z > 0 ดังนั้น
(7) x = 8z/3/sqrt(3) และ
(8) 3zx = 8z^2/sqrt(3)
จาก (4) และ (7) จะได้
(9) 2z + x = 8y/3/sqrt(3)
โจทย์ให้เราหาค่าของ
xy + 2yz + 3zx = y(x + 2z) + 3zx
แทนค่าจาก (8) และ (9)
xy + 2yz + 3zx = 8/sqrt(3)*(y^2/3 + z^2) = 24*sqrt(3) โดยการแทนค่าจาก (2)

อีกวิธีคือ กำหนด(y^2)/3=t^2
จากข้อมูลที่ให้นำมาพิจารณาดังนี้
สร้างสามเหลี่ยมที่ AB=3 BC=4 CA=5
ให้จุด P เป็นจุดที่มีสมบัติดังนี้
1อยู่ในสามเหลี่ยมABC
2มุม APB=90 BPC=120 CPA=150
จาก 3 สมการที่มีจะได้ PA=t PB=z PC=x
จากการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะได้
tz/2+sqrt(3)xz/4+xt/4=6
ดังนั้น xy+2yz+3zx=xtsqrt(3)+2sqrt(3)tz+3zx=6*4sqrt(3)=24sqrt(3)
โจทย์นี่ได้มาตอนเข้าค่ายโอ ปีไหนเหรอทำไมไม่เคยเห็น หรือเป็นค่ายของ สอวน.
อยากรู้จัง?

ขอบคุณอย่างสูง สำหรับทุกคำตอบ ยอดเยี่ยมทั้งนั้นเลย

ป.ล. โจทย์ข้อนี้ได้มาจากรุ่นพี่ เป็นรวมโจทย์ที่เคยเป็นข้อสอบ Moscow Mathematical Olympiads (หรืออะไรทำนองนี้) ของปีเก่ามาก ประมาณ 198.... (กว่าๆ จำไม่ได้)

เป็นโจทย์ Allunion Mathematic Olympiad
(ของรัสเซียนั่นแหล่ะ)ปี 1984