ช่วยแก้สมการหน่อยครับ

[monster99]

จงหาค่า x ของ $ x = \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$

[POSN_Psychoror]

อืมม ก็จับพจน์นึงของด้านขวา เป็นพจน์ไหนก็ได้นะครับ แล้วก็ย้ายข้างมาลบที่ด้านซ้าย แล้วก็จับกำลัง 2 แล้วก็จัดรูปนิดหน่อย ให้รูทอยู่กับรูท แล้วก็กำลัง 2 อีกครั้ง เราจะได้สมการนี้ครับ
$x^4+2x^3+3x^2+2x+1=0$
$(x^2+x+1)^2=0$
เราจะได้ค่า $x$ ออกมาครับ (ขอโทษด้วยครับ ที่ไม่ได้แสดงให้ละเอียด คือลองไปทำเองดูดีกว่านะครับ)

ปล. ข้อสอบข้อนี้เป็นข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 , สอวน ปลายค่าย 1 ปี 2550, ข้อสอบ IMC 2550 ครับ (ฮิตน่าดูเลย โจทย์แบบนี้)

[monster99]

ทำไมผมถึงได้ไม่ตรงหละครับ ช่วยเช็คที

$ x-\sqrt{1-\frac{1}{x}} = \sqrt{x-\frac{1}{x}}$

$x^2 - 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}} + 1-\frac{1}{x} = x-\frac{1}{x}$

$x^2-x+1 = 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$x^4+x^2+1+2(-x^3+x^2-x) = 4x^2(1-\frac{1}{x})$

$x^4+x^2+1-2x^3+2x^2-2x-4x^2 + 4x = 0$

$x^4-2x^3-x^2+2x + 1 = 0$

[[SIL]]

ข้อนี้เป็นข้อสอบเพชรยอดมงกุฏด้วยครับ
ยกกำลังสองแค่ 2 ครั้งครับ ย้ายฝั่งขวามาฝั่งซ้าย (ตัวไหนก็ได้) แล้วอย่าลืมเช็คขอบเบตครับ อ้อ $x\not=0$ ด้วยนะ^^ (ถ้าจำวิธีทำไม่ผิด)
ปล. ในหนังสือ พีชคณิตคิดเพื่อชาติก็มี

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

ทำไมผมถึงได้ไม่ตรงหละครับ ช่วยเช็คที

$ x-\sqrt{1-\frac{1}{x}} = \sqrt{x-\frac{1}{x}}$

$x^2 - 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}} + 1-\frac{1}{x} = x-\frac{1}{x}$

$x^2-x+1 = 2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$x^4+x^2+1+2(-x^3+x^2-x) = 4x^2(1-\frac{1}{x})$

$x^4+x^2+1-2x^3+2x^2-2x-4x^2 + 4x = 0$

$x^4-2x^3-x^2+2x + 1 = 0$

ไม่รู้สินะครับ ผมอาจจะจำโจทย์ผิดก็ได้ครับ แต่รู้สึกวิธีนี้ถูกแล้วล่ะครับ แล้วเราแยกตัวประกอบต่อครับ
$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$
$(x^4-2x^3+x^2)-(2x^2-2x)+1=0$
$x^2(x^2-2x+1)-2x(x-1)+1=0$
$x^2(x-1)^2-2x(x-1)+1=0$
$(x(x-1)-1)^2=0$
$x^2-x-1=0$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ monster99

จงหาค่า x ของ $ x = \sqrt{x-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}$

ให้ \[
y = \sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}}
\]
จะได้ \[
xy = \left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = x - 1
\]
\[
y = 1 - \frac{1}{x}
\]
\[
x + 1 - \frac{1}{x} = 2\sqrt {x - \frac{1}{x}}
\]
ให้ \[
z = x - \frac{1}{x}
\]
จะได้ \[
z + 1 = 2\sqrt z
\]
\[
\left( {z + 1} \right)^2 - 4z = \left( {z - 1} \right)^2 = 0
\]
นั่นคือ \[
z = 1
\]
ดังนั้น \[
x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\]
แต่ \[
x > 0
\]
เพราะฉะนั้น \[
x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\]

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ V.Rattanapon

ให้ \[
y = \sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}}
\]
จะได้ \[
xy = \left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = x - 1
\]
\[
y = 1 - \frac{1}{x}
\]
\[
x + 1 - \frac{1}{x} = 2\sqrt {x - \frac{1}{x}}
\]
ให้ \[
z = x - \frac{1}{x}
\]
จะได้ \[
z + 1 = 2\sqrt z
\]
\[
\left( {z + 1} \right)^2 - 4z = \left( {z - 1} \right)^2 = 0
\]
นั่นคือ \[
z = 1
\]
ดังนั้น \[
x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\]
แต่ \[
x > 0
\]
เพราะฉะนั้น \[
x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\]

ทำไม x> 0ครับ?