มีโจทย์สวย ๆ มาฝาก

[BLACK-Dragon]

1. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (AC=AB) ถ้า M เป็นจุดกึ่งกลางของ BC และ N อยู่บน AC โดย MN ตั้งฉากกับ AC และ P เป็นจุดกึ่งกลางของ MN จงแสดงว่า AP ตั้งฉากกับ BN

2. ถ้า q,p เป็นจำนวนเฉพาะ โดยที่ $q|2^p-1$ จงแสดงว่า p<q

[กระบี่ทะลวงด่าน]

2. สมมติ $p\geqslant q$ จากโจทย์ $ 2^p\equiv 1 (mod q)$ เเต่ q เป็นจำนวนเฉพาะเเละไม่เป็นสอง(จากเงื่อนไขโจทย์)
ได้ว่าโดยออยเลอร์ $ 2^{q-1}\equiv 1 (mod q)$ เเต่. $ord_2q\left|\,\right. q-1,p$ (โดยทบ.order. ลองหาดูในกระทู้เก่าๆครับ) เเต่ p เป็นจำนวนเฉพาะจึงได้ว่า $ord_2q=p \therefore p\left|\,\right. q-1 \therefore q-1\geqslant p$ ได้ว่า $q\succ p CTD.$ ดังนั้น $q\succ p$. รบกวนตรวจให้หน่อยครับว่าทำถูกรึเปล่าอ่ะครับ
ปล. Order ก้อนในพิสูจน์ไม่มีทางเป็นหนึ่งนะครับ ลืมเขียนไปครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#2 ถูกแล้วครับ

ข้อนึง Main point ของข้อนี้ผมว่าน่าจะเป็น จุดกึ่งกลาง NC อีก 2 บรรทัดก็จบได้เลยครับ ( P จะกลายเป็น orthocenter ไปในทันที )