โจทย์พิสูจน์เอกลักษณ์ ตรีโกณผสมเรขาคณิต

[jae_bau]

r = รัสมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC
R = รัสมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC
a , b , c เป็นด้านตรงข้ามมุม A , B , C ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ
s = \frac{a+b+c}{2}

จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้

1. cosA + cosB + cosC = 1 + \frac{r}{R}

2. cosAcosB + cosBcosC + cosAcosC = \frac{s^2 - 4R^2 + r^2}{4R^2}

3. cosAcosBcosC = \frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2}

............................................................
ไม่หนีไปไหน จะอยู่กับเธอตลอดไป คณิตสาสตร์

[gon]

เติม Tag ให้ก่อนนะครับ. น้อง jae_bau ไม่ได้ใส่ Tag เปิดกับปิด มันเลยแสดงผลไม่ได้
r = รัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC
R = รัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC
a , b , c เป็นด้านตรงข้ามมุม A , B , C ของสามเหลี่ยม ABC ตามลำดับ
\(s = \frac{a+b+c}{2}\)

จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้

\(1. cosA + cosB + cosC = 1 + \frac{r}{R}\)

\(2. cosAcosB + cosBcosC + cosAcosC = \frac{s^2 - 4R^2 + r^2}{4R^2}\)

\(3. cosAcosBcosC = \frac{s^2-(2R+r)^2}{4R^2}\)

ปล. ตกลงว่าตอนนี้เรียนต่อที่ไหนครับ. รู้หรือยัง.

[jae_bau]

เหอๆ ผมเพิ่งจะเรียน ม. 6 เองอ่ะครับพี่กอน ยังไงๆ ผมก็ต้องเข้าคณะวิทยศาสตร์ ภาคคณิตศาสตร์ ของ ม. ขอนแก่นอยุ่แล้วครับ ก็เลยไม่ค่อยห่วงเรื่องที่เรียน ถ้าไม่มีที่ไปจริงๆ
คือสอบทุนไรก็ไม่ติดงี้ครับ ตอนนี้กำลังตั้งใจพยายามอ่านหนังสืออยู่ครับ ( ไม่รู้จะสู้เค้าได้มั๊ยเนี่ย ) เผอิญไปเจอเอกลักษณ์สวยมาก แต่ไม่ค่อยเจอใครเอามาดัดแปลงเป็นข้อสอบเลยอ่ะครับ อีกทั้งไม่รู้แนวทางการพิสูจน์ด้วย ( จำเอกลักษณ์ได้หมดแล้วครับ ) เซียนท่านใดสนใจ ให้แนวคิดหน่อยครับ

[jae_bau]

ใกล้จะสอบ TMO ครั้งที่ 2 แล้ว มีใครได้ไปสอบบ้างครับนี่ รายงานตัวด่วนครับ อยากคุยด้วยเจงๆ เจอกันที่อุบลจะได้รู้จักกันครับ แล้วมีพี่คนไหนไปบ้างครับ ช่วยกระจายข่าวด้วย
อยากรู้จักๆๆครับ

[gon]

Hint : ข้อ 1 ให้นะครับ
ในสามเหลี่ยมซึ่งแนบในวงกลมรัศมี R เราจะพิสูจน์ได้ว่า \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

ลองวาดรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีวงกลมรัศมี r แนบในอยู่ จากนั้นจากจุดศูนย์กลางวงกลม ลากไปยังจุดยอดทั้งสาม ก็จะมีสามเหลี่ยม 3 รูปปรากฏ จากนั้นลากส่วนสูง ของสามเหลี่ยมทั้ง 3 ซึ่งก็คือ r

ให้มองดูสามเหลี่ยมรูปใด รูปหนึ่ง ซึ่งมียาวด้าน ถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน เช่น สมมติว่า D เป็นจุดที่อยู่บนวงกลม และ แบ่ง BC ออกเป็น 2 ส่วน เราจะได้ว่า \(BD = r\cot \frac{B}{2},\, CD = r\cot \frac{C}{2} \)

แต่ a = BD + CD เมื่อแทนค่าลงไป และ เนื่องจาก A + B + C = p เราก็จะได้ว่า
\[r = \frac{a\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}} \]

เมื่อแทน \( \frac{a}{\sin A} = 2R \) ก็จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง r กับ R

จากนั้นก็พิสูจน์ว่า ถ้า \[A + B + C = \pi \Rightarrow \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \] ก็จะเห็นทางไปจนจบในที่สุด ลองคิดดูนะครับ.