ข้อสอบโครงการพัฒนาอัจฉริยภาพ

[gon]

ข้อ 6 ตอนที่ 1
ก. จริง) \(y \propto x \Rightarrow y = kx , x^2 + xy + y^2 = x^2 + kx^2 + k^2x^2\)

\(= (1+k+k^2)x^2 = \frac{1+k+k^2}{k}kx^2 = c(kx^2) = c(xy) \Rightarrow x^2 + xy + y^2 \propto xy\)

ข. จริง) \(x^3 + x^2y+y^3 = x^3 + kx^3 + k^3x^3 = (1+k+k^3)x^3 = \frac{1+k+k^3}{k^2}k^2x^3 = c(xy^2) \Rightarrow x^3 + x^2y+y^3 \propto xy^2 \)

[Eddie]

[nooonuii]

ข้อ 18 ตอนที่ 2

ถ้า z ฃ60 จะได้ว่า
x+y+z<3z ฃ 180 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น z ณ 61
ถ้า z = 61 จะได้ y = 60 x = 59
เพราะฉะนั้นค่า z ที่น้อยที่สุดคือ 61

[nooonuii]

ข้อ 16 ตอนที่ 2 ได้คำตอบเป็น 4:5:10 ครับ
ส่วนวิธีคิดก็ใช้ทฤษฎีบทของพิธากอรัส

[gon]

ข้อ 16 ตอนที่ 2 : ผมใช้แนวคิดที่ว่า พื้นที่สามเหลี่ยมรูปเดียวกัน จะมีค่าเท่ากัน ให้ AB, BC, CA มีความยาวเป็น 2x, 5x, 4x ตามลำดับ ดังนั้น
\(\frac{1}{2}(5x)(AD)=\frac{1}{2}(4x)(BE)=\frac{1}{2}(2x)(CF) \Rightarrow 5AD = 4BE = 2CF\) จากนั้นนำ 20 หารตลอด
\(\Rightarrow \frac{AD}{4}= \frac{BE}{5}=\frac{CF}{10} \; \Rightarrow AD:BE:CF = 4:5:10\)

[gon]

ข้อ 14 ตอนที่ 1

จากรูปขยับจุด R ลงมาให้ถูกก่อน (วาดผิด)

จากรูปจะได้ว่า ะPO₁S = p - 2a ดังนั้น ะPO₁S (มุมกลับ) = p + 2a ดังนั้น ะPRS = (p/2) + a ทำนองเดียวกัน ะQRS = (p/2) + b

ณ. จุด R จะตั้งสมการได้ ะPRS + ะQRS + 130ฐ = 2p ดังนั้น a + b = 50ฐ

จะแสดงว่า x = a + b
พิจารณา D PSQ จะได้ว่า x = p - (y + z) = p - [(p/2) - a + (p/2) - b] = a + b

นั่นคือ x = a + b = 50ฐ

[nooonuii]

ข้อ 16 ตอนที่ 2 ของพี่ gon ง่ายกว่าของผมเยอะเลยครับ

[Eddie]

[Eddie]

[Eddie]

ข้อ 14 ตอนที่ 1
(ขอร่วมด้วยคน) จาก P ลากผ่านจุดศก ตัดวงกลมที่ P' ทำนองเดียวกัน Q ตัดที่ Q' โดยความสมมาตร ได้ว่า
มุม PRQ=มุม P'SQ'=130 และเนื่องจาก มุม PSP'=QSQ'=90
ดังนั้น มุม PSQ=360-130-90-90=50.

[warut]

ขอกลับไปที่โจทย์ข้อ 1 ตอนที่ 1 นะครับ

โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์สมการ Diophantine แบบที่เรียกว่า Egyptian fraction ซึ่ง
เป็นเรื่องที่ค่อนข้างลึกซึ้ง ถ้าหากประเมินความยากของมันต่ำไปก็อาจจะเกิดเหตุการณ์
แบบนี้ได้:

1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/30 = 1 และ 2 + 3 + 12 + 20 + 30 = 67 ดังนั้นตัวเลือกที่ 1 ถูก

1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/15 + 1/35 = 1 และ 2 + 3 + 14 + 15 + 35 = 69 ดังนั้นตัวเลือกที่ 2 ก็ถูก

1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/22 + 1/33 = 1 และ 2 + 3 + 11 + 22 + 33 = 71 ดังนั้นตัวเลือกที่ 3 ก็ถูกอีก

ตัวเลือกที่ 4 ถูกหรือไม่ผมไม่ทราบ แต่แค่นี้ก็คงเพียงพอจะชี้ให้เห็นแล้วว่าโจทย์ข้อนี้มีปัญหาจริงๆ

[gon]

จะว่าไปโจทย์ข้อที่ 1 ที่มี ตัวเลือกเป็น 67, 69, 71 อะไรพวกนี้ ถ้าผมไม่ละเมอ ผมก็เคยเห็นมาอย่างน้อยครั้งหนึ่งแล้ว ที่ไหนจำไม่ได้ คุณ warut พอจะบอกเทคนิคการแปลงร่างดังกล่าวได้หรือเปล่าครับ. น่าสนใจจริง ๆ

[nooonuii]

ผมว่าคนคิดโจทย์ข้อนี้ลืมเช็ค uniqueness ของคำตอบน่ะครับ คือคิดได้มาชุดนึงแล้วก็คิดว่ามีคำตอบเดียว ก็เลยออกมาอย่างที่เห็น
ผมเจอความผิดพลาดแบบนี้ในข้อสอบแข่งขันเกือบทุกระดับ แปลกแต่จริง อย่างข้อนี้ความผิดพลาดไม่ได้เกิดจากการพิมพ์ แต่เกิดความผิดพลาดในระดับแนวคิดเลยทีเดียว สรุปว่าโจทย์ข้อนี้วัดความเป็นอัจฉริยะของเด็กไม่ได้ครับ เด็กที่ทุ่มเวลากับการคิดโจทย์ข้อนี้ก็คงเสียโอกาสไป

[warut]

คุณ nooonuii ออกความเห็นได้ตรงใจผมจังเลยครับ

ตอบคุณ gon: ผมไม่ได้ใช้วิธีแปลงร่างอะไรหรอกครับ คำตอบพวกนั้นหามาโดย
computer search ทั้งหมด ทันทีที่ผมเห็นโจทย์ข้อนี้ จากประสพการณ์ของผม
บอกผมว่า "ไม่อยากเชื่อเลยว่ามีตัวเลือกเดียวที่ถูก" พอดีตอนนั้นกำลังจะไปทำธุระที่
ต่างจังหวัดเลยไม่ได้ทำ แล้วก็ลืมไปเลย เพิ่งมาเห็นอีกทีเมื่อเช้า ผมคิดว่าสมการแบบนี้
คงแก้โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างเดียวไม่ได้ จำเป็นต้องใช้คอมพิวเตอร์ทำ
exhaustive search ความรู้ทางคณิตศาสตร์ช่วยได้เพียงตัดจำนวนกรณีให้น้อยลง
เท่านั้น ที่ผมทำนี่ไม่ใช่ exhaustive search นะครับ คือแค่พอผมเจอคำตอบที่ได้
ผลบวกเท่ากับ 69 กับ 71 นี่ผมก็บ๊ายบายโจทย์ข้อนี้แล้ว