โจทย์ฟังก์ชันเลขคณิต

[NaPrai]

จงพิสูจน์ว่า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ $\Longleftrightarrow$ $\sigma(n)+\phi (n) = n$ $\cdot$ $\tau(n)$
---------------------------------------------------------------
หมายเหตุ
$\sigma(n)$ คือ จำนวนของตัวประกอบบวกทั้งหมดของ $n$
$\phi(n)$ คือ จำนวนของจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ของ $n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $n$
$\tau(n)$ คือ ผลบวกของตัวประกอบบวกทั้งหมดของ $n$

[RER]

$\Rightarrow$ แสดงได้ไม่ยากว่าถ้า $n$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้วเงื่อนไขเป็นจริง
$\Leftarrow$ สมมติว่า $n$ เป็นจำนวนประกอบ ให้$d_1,d_2,....,d_{\tau{(n)}}$ เป็นตัวประกอบทั้งหมดของ $n$ โดยที่$d_1=1$ $ d_\tau{(n)}=n$ $\tau{(n)}>2$ทำให้ได้ว่า $(n-d_2)\geqslant1$ ส่งผลให้
$\phi{(n)}= (n-d_1)+(n-d_2)+......+(n-d_\tau{(n)})$ $\geqslant (n-1)+1$ $=n$ เกิดข้อขัดแย้ง
โจทย์สวยดีครับ

[Thgx0312555]

เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเฉพาะเห็นได้ชัดว่าสอดคล้องกับสมการ

เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันแยกคูณ
สมมติ $n$ เป็นจำนวนประกอบที่น้อยที่สุดซึ่ง $\sigma (n) + \phi (n) \ge n \tau (n)$

ให้ $n=ab$ โดยที่ $(a,b)=1,a,b>1$ จะได้ว่า $a,b$ เป็นจำนวนประกอบที่น้อยกว่า $n$ ไม่ก็เป็นจำนวนเฉพาะ

จะได้ $\sigma (a) \sigma (b) + \phi (a) \phi (b) < (\sigma (a) + \phi (a))(\sigma (b) + \phi (b)) \le a \tau (a) \cdot b \tau (b)$

$\sigma (n) + \phi (n) < n \tau (n)$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง

$\therefore \sigma (n) + \phi (n) < n \tau (n)$