ช่วยแก้โจทย์ Topology ให้ทีครับ

[Pattern&Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เรียวคุง

เหมือนกันกับ [M2] ครับ $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y $

พิจารณาขากลับ แทน $y=x $ จะได้ว่า $ x = x \Rightarrow d(x,x) = 0 $

อ้อ ครับผม ช่ายๆเลย

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

เซต $A,B$ เป็นเซตปิดด้วยนะครับ เงื่อนไขตรงนี้ต้องแก้เป็น แบบนี้ครับ $$A = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) \leqslant r_{1} \} $$ ,~~~

$$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) \leqslant r_{2} \} $$

ผมงงตรงต่อจากนี้ไปอ่ะครับ เราต้องกำหนดอะไรเพิ่มเติมอีกหรือเปล่าครับ

แล็วก็ $$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ \\
มาได้ยังไงอ่ะครับ ??

ใช่ครับ ผมพิมพ์ผิดขอบคุณที่แก้ไขให้ครับ

1. Since $\forall x \in X , d(x,x_{0}) \leqslant r_{1}$ then $\exists \varepsilon_{1} > 0 $ s.t. $$C = B(x_{0},r_{3}) = \{ x \in X | d(x_{0},x) < r_{1} + \varepsilon_{1} = r_{3} \}$$
which is open.

Similarly, since $\forall y \in X , d(y,y_{0}) \leqslant r_{2}$ then $\exists \varepsilon_{2} > 0 $ s.t. $$D = B(y_{0},r_{4}) = \{ y \in X | d(y_{0},y) < r_{2} + \varepsilon_{2} = r_{4} \}$$
which is open.

2. Letting $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \rightarrow 0$ then we have $C\cap D = \varnothing .$

[Pattern&Math]

แล้วถ้าเจอโจทย์แนวนี้เราจะพิสูจน์ยังไงอ่ะครับ

ให้ $d(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d(x,y)=\left[\sum_{i = 1}^{\ n} (x_i-y_i)^2\,\right]^\frac{1}{2} $


ให้ $d'(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d'(x,y)= max_{(1\leqslant i \leqslant n)}\left|x_i-y_i\,\right| $


ให้ $d''(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d''(x,y)=\sum_{i = 1}^{\ n}\left|x_i-y_i\,\right| $

ทั้งหมดเป็นเมตริกบน $R^n$
จงพิสูจน์ว่า
1.$d'(x,y)\leqslant d(x,y) \leqslant \sqrt{n}d'(x,y) $
2.$d'(x,y)\leqslant d''(x,y) \leqslant nd'(x,y)$
3.$d(x,y)\leqslant d''(x,y) \leqslant \sqrt{n}d(x,y) $

[Pattern&Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เรียวคุง

ใช่ครับ ผมพิมพ์ผิดขอบคุณที่แก้ไขให้ครับ

1. Since $\forall x \in X , d(x,x_{0}) \leqslant r_{1}$ then $\exists \varepsilon_{1} > 0 $ s.t. $$C = B(x_{0},r_{3}) = \{ x \in X | d(x_{0},x) < r_{1} + \varepsilon_{1} = r_{3} \}$$
which is open.

Similarly, since $\forall y \in X , d(y,y_{0}) \leqslant r_{2}$ then $\exists \varepsilon_{2} > 0 $ s.t. $$D = B(y_{0},r_{4}) = \{ y \in X | d(y_{0},y) < r_{2} + \varepsilon_{2} = r_{4} \}$$
which is open.

2. Letting $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \rightarrow 0$ then we have $C\cap D = \varnothing .$

เข้าใจเลยครับผม ขอบคุณครับ

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

แล้วถ้าเจอโจทย์แนวนี้เราจะพิสูจน์ยังไงอ่ะครับ

ให้ $d(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d(x,y)=\left[\sum_{i = 1}^{\ n} (x_i-y_i)^2\,\right]^\frac{1}{2} $


ให้ $d'(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d'(x,y)= max_{(1\leqslant i \leqslant n)}\left|x_i-y_i\,\right| $


ให้ $d''(x,y):R^n\times R^n \rightarrow R$
กำหนดโดย $d''(x,y)=\sum_{i = 1}^{\ n}\left|x_i-y_i\,\right| $

ทั้งหมดเป็นเมตริกบน $R^n$
จงพิสูจน์ว่า
1.$d'(x,y)\leqslant d(x,y) \leqslant \sqrt{n}d'(x,y) $
2.$d'(x,y)\leqslant d''(x,y) \leqslant nd'(x,y)$
3.$d(x,y)\leqslant d''(x,y) \leqslant \sqrt{n}d(x,y) $

ทำตรงๆเลยครับ พิจารณาเป็นข้อๆไป เช่น

ข้อ 2. $ d'(x,y) \leqslant d''(x,y) \leqslant nd'(x,y) $ เนื่องจาก $$ d'(x,y), d''(x,y) , nd'(x,y) \in R $$
($d(x,y), \ d'(x,y), \ d"(x,y) : R^n\times R^n \rightarrow R$)
ต้อง แสดงว่า

$ d'(x,y)\leqslant d''(x,y)$ และ $d''(x,y) \leqslant nd'(x,y) $


>>>> $d''(x,y) \leqslant nd'(x,y) $

$d''(x,y) = \sum_{i = 1}^{\ n}\left|x_i-y_i\,\right| = |x_{1} - y_{1}| + \cdots + |x_{n} - y_{n}| \leqslant n \cdot \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_{i} - y_{i}| = nd'(x,y) $

ส่วนอสมการส่วนใหญ่ใช้วนเวียนอยู่แค่ Minkowski inequality , Holder's inequality แล้วก็ Bessel's inequality ครับ ลองพยายามทำให้ถึงที่สุด แล้วจะดีเองครับ

[Pattern&Math]

ขอบคุณสำหรับคำชี้แนะครับ คุณเรียวคุง

[Pattern&Math]

Ex.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ และ $G$ เป็นสับเซตเปิดใน $X$ จงพิสูจน์ว่าแต่ละสับเซต $A$ ของ $X$ , $G\cap A=\phi $ ก็ต่อเมื่อ $G\cap \bar A =\phi $

เจอโจทย์แนวนี้บ่อยมากเลยครับ แต่พอเจอปุ๊ปเขียนไปได้ไม่กี่บรรทัดก็ตัน ไม่เข้าใจตัวเองจริงๆครับ พอจะมีหลักในการพิสูจน์บ้างไหมอ่ะครับ

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

Ex.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ และ $G$ เป็นสับเซตเปิดใน $X$ จงพิสูจน์ว่าแต่ละสับเซต $A$ ของ $X$ , $G\cap A=\phi $ ก็ต่อเมื่อ $G\cap \bar A =\phi $

เจอโจทย์แนวนี้บ่อยมากเลยครับ แต่พอเจอปุ๊ปเขียนไปได้ไม่กี่บรรทัดก็ตัน ไม่เข้าใจตัวเองจริงๆครับ พอจะมีหลักในการพิสูจน์บ้างไหมอ่ะครับ

Since $G\cap A=\emptyset$, $A \subseteq X-G$. Then
$cl(A) \subseteq cl(X-G)$. But $X-G$ is closed, so $cl(X-G)=X-G$.
Thus, we are done.
Conversely, consider
$$G \cap A \subseteq G \cup cl(A) = \emptyset$$.
It follows that $G \cap A = \emptyset$.

ขอถามต่อครับ
Let $X$ be an infinite set and $T$ be a topology on $X$. If $T$ contains every infinite subset of $X$, then $T$ is the discrete topology.