โท จุฬา วิชา 510 สอบครั้งแรก โคตรยาก 1/5/50

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[M@gpie]

ผิดถูกยังไงบอกนะคร้าบ
1.1 Since $f(0)=f(2)=3$. Then $f$ is not 1-1, but $f$ is onto.
1.2 $f[(0,2)] = f[(0,1)\cup[1,2)] = f[(0,1)]\cup f[[1,2)] = (3,4)\cup [2,3)= [2,4) $

3. Suppose $a=b$ and $f^{-1}[a]\cap f^{-1}[b] \neq \varnothing $. Then there exists $x\in A$ such that $f(x)=a=b$. This contradicts that $f$ is a function.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ expol

4.Assume that there is bijection between a set $A$ and $N$(เซตของจำนวนนับ).
Show that there is bijection between $\{1,2\}\times A$ and $N$(เซตของจำนวนนับ).

ให้ $O$ และ $E$ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกคี่และคู่ตามลำดับ

เนื่องจากมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก $\mathbb{N}$ ถึง $O$ และ $E$ จะมีฟังก์ชัน

หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $f:A \to O$ และ $g:A\to E$

นิยาม $h:\{1,2\}\times A\to\mathbb{N}$ โดย $h(1,a)=f(a)$ และ $h(2,a)=g(a)$

เราจะได้ว่า $h$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

3. Suppose $a=b$ and $f^{-1}[a]\cap f^{-1}[b] \neq \varnothing $. Then there exists $x\in A$ such that $f(x)=a=b$. This contradicts that $f$ is a function.

ทำไมต้องสมมติว่า $a=b$ ล่ะครับ และจริงๆก็ไม่ได้ขัดแย้งกับการที่ $f$ เป็นฟังก์ชันด้วยครับ

ข้อนี้ถ้าทำง่ายๆโดยใช้สูตรก็จะเป็นแบบนี้

$f^{-1}[a]\cap f^{-1}[b]=f^{-1}[\{a\}\cap\{b\}]=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$

หรือถ้าจะทำให้ยากอีกหน่อยก็จะเป็นแบบนี้

นิยามความสัมพันธ์ $(a,b)\in R \Leftrightarrow f(a)=f(b)$ จะได้ว่า $R$ เป็นความสัมพันธ์สมมูล ดังนั้น equivalence class $[a]=f^{-1}[a]$ เนื่องจากความสัมพันธ์สมมูลสร้าง partition บนเซตเราจะได้ว่า $[a]\cap [b]=\emptyset$

[nooonuii]

2. สมมติให้ $c\in C,d\in D$ เนื่องจาก $h$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

จะมี $(a,b)\in A\times B$ ซึ่ง $h(a,b)=(c,d) \Rightarrow (f(a),g(b))=(c,d)$

ดังนั้น $f(a)=c,g(b)=d$ นั่นคือ $f,g$ เป็นฟังก์ชันทั่วถึง

[M@gpie]

ผมเข้าใจผิดไปแล้วคร้าบ ขออภัย

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ expol

พี่ครับ ข้อ2. เราต้อง ให้ พร้อมๆๆกันเลยเหรอครับ มีคนบอกว่าต้อง แสดงว่า $f$ onto แล้วก้ทำอีกครั้ง เพื่อแสดงว่า $g$ onto แต่ผมก้ทำแบบพี่ อ่ะครับ พอดี สอบเสร็จมานั่งคุยกัน ผมก็ฟังเค้าไม่รู้เรื่องเลย รอดูคะแนนดีกว่า

ปล. อาจารย์ที่สอน อ.พัฒนี ครับผม ตอนนี้ปิดคอร์ส แล้วคับ รอนัดสอบไฟนอลอีกครั้ง วันที่ 6 มิย. ครับ

สมมติพร้อมกันได้ครับ เพราะทั้งสองฟังก์ชันไม่ได้เกี่ยวข้องกัน

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[nooonuii]

ขอเลือกทำเฉพาะบางข้อครับ

2. ให้ $m=[x]$

3. สมมติว่า $b<a$ ดังนั้น $b\leq a-1$

เราจึงได้ว่า

$(n-1)a\leq bn\leq n(a-1)\Rightarrow a\geq n$ ทุกค่า $n$

ซึ่งขัดแย้งกับ Archimedean Property

4. ให้ $f=h^{-1}\circ g$

[konkoonJAi]

สงสัยว่า denumerable subset แปลว่าอะไร
$card(A)$ คืออะไร
และ การเขียนฟังก์ชันแบบ $f(x)$ กับ $f[x]$ มีความหมายเหมือนกันมั้ยคะ ถ้าต่างกันแล้ว $f[x]$ คืออะไร
สงสัยจริง ๆ ค่ะ รบกวนด้วยนะคะ

[kanji]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ konkoonJAi

สงสัยว่า denumerable subset แปลว่าอะไร
$card(A)$ คืออะไร
และ การเขียนฟังก์ชันแบบ $f(x)$ กับ $f[x]$ มีความหมายเหมือนกันมั้ยคะ ถ้าต่างกันแล้ว $f[x]$ คืออะไร
สงสัยจริง ๆ ค่ะ รบกวนด้วยนะคะ

1.denumerable subset แปลว่าอะไร
ตอบ เซตอนันต์แบบนับได้ อีกชื่อหนึ่งคือ countably infinite set เช่น เซต $\left\{\,1,2,3,4,...\right\}$
2.$card(A)$ คืออะไร
ตอบ $card(A)$ ย่อมาจาก Cardinal number of $A$ แปลว่า จำนวนเชิงการนับของ $A$ เมื่อ $A$ คือเซตใดๆ.
ขออธิบายด้วยตัวอย่างนะจ๊ะ เช่น
$A=\emptyset $ ดังนั้น $card(A)= 0$
$B=\{a,b,c,1,2\}$ ดังนั้น $card(B)= 5$
$C=\{1,2,3,...\}= N $ ดังนั้น $card(C)= \aleph _0$ เมื่อ $N=$เซตของจำนวนนับ และ $\aleph _0$อ่านว่า aleph null (เป็นสัญลักนะครับ อย่ากังวล )
$D= \Re $ ดังนั้น $card(D)= \aleph _1$ เมื่อ $\Re =$เซตของจำนวนนับ และ $\aleph _1$อ่านว่า aleph one

ยังมีอีกเยอะเลยครับ หาอ่านได้ในหนังสือ Set Theory,Princ,...
3.การเขียนฟังก์ชันแบบ $f(x)$ กับ $f[x]$ มีความหมายเหมือนกันมั้ยคะ ถ้าต่างกันแล้ว $f[x]$ คืออะไร
ตอบ ต่างครับ
$f(x)$ คือ ค่าๆ หนึ่ง
แต่ $f[x]$ คือเซต

[passer-by]

คำถามสุดท้าย ผมให้ข้อสังเกตอย่างนี้แล้วกัน

ถ้าหลัง f เป็นตัวเลขหรือตัวแปร มันก็คือ ค่าฟังก์ชัน f ณ ตัวเลขหรือตัวแปรนั้นๆ แต่ถ้าหลัง f เป็นเซต เช่น $ f(X) $ ก็็คือ image of X under f หรือในเชิงคณิตศาสตร์ $ f(X)= \{ f(x) | x \in X \}$

[konkoonJAi]

ขอบคุณมากนะคะ