Cambridge?s Mathematical Tripos

[mercedesbenz]

ข้อ 5 (1)ของวันแรกครับ
5. Prove that if $A+B+C=2\pi$
(1) $cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C−2cos Acos Bcos C=1 ;$
solution
พิจารณา $cos(A+B)=cos({2\pi-C})=cos C$
ต่อไปพิจารณา
$\begin{eqnarray}
2cos Acos Bcos C&=&\left[cos(A+B)+cos(A-B)\right]cos(A+B)\\
&=&cos(A+B)cos(A+B) +(cos Acos B-sin Asin B)(cos Acos B+sin Asin B)\\
&=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B-sin^{2} Asin^{2} B+sin^{2} B+cos^{2}B-1\\
&=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B+sin^{2}B(1-sin^{2}A)+cos^{2}B-1\\
&=&cos^{2}C+cos^{2} Acos^{2} B+sin^{2}Bcos^{2}A+cos^{2}B-1\\
&=&cos^{2}C+cos^{2} A(sin^{2}B+cos^{2}B)+cos^{2}B-1\\
&=&cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C-1\\
\end{eqnarray}$

[mercedesbenz]

5. Prove that if $A + B + C= 2\pi$
(2) $sin A+sin B+sin C = 4sin{\frac {A}{2}}sin{\frac {B}{2}}sin{\frac {C}{2}}$;
Solution
เนื่องจาก $-sin(A+B)=sin C$
พิจารณา
$\begin{eqnarray}
4sin {\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}&=&4sin {\frac{A}{2}}sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{(A+B)}{2}}\\
&=&-2[cos\frac{(A+B)}{2}-cos\frac{(A-B)}{2}]sin\frac{(A+B)}{2}\\
&=&-2cos\frac{(A+B)}{2}sin\frac{(A+B)}{2}+2cos\frac{(A-B)}{2}sin\frac{(A+B)}{2}\\
&=&-sin(A+B)+sin A+sin B\\
&=&sin A+sin B+sin C
\end{eqnarray}$
ถ้าผิดพลาดประการใดช่วยแนะนำด้วยนะครับ

[Switchgear]

คุณ mercedesbenz ลองเฉลยข้อ 5(3) ต่อเลยซิครับ

เท่าที่อ่านดู 2 ข้อแรกก็ OK แล้ว ... ขอบคุณแทนเพื่อนทุกคนด้วย

[Switchgear]

สำหรับข้อสอบชุดที่ 3 เป็นของเช้าวันศุกร์ มีแต่แนวโจทย์ประยุกต์ซึ่งหลายคนอาจไม่ได้เรียนวิชานั้นๆ มา
ฉะนั้นผมขอข้ามไปเลยละกัน เพราะคนสนใจอ่านคงมีน้อย


FRIDAY, 30 May 1913, 9:00-12:00
... เป็นโจทย์ประยุกต์กับกลศาสตร์ล้วนๆ ขอตัดทิ้งไปเลย ...

_

[Switchgear]

เรามาต่อกันด้วยข้อสอบชุดที่ 4 เป็นของบ่ายวันศุกร์ กลับมาเป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่น่าจะพอคิดกันได้หน่อย


FRIDAY, 30 May 1913, 14:00-17:00

1. A chord $QQ'$ is drawn in a circle whose centre is $C;$ the tangents at $Q, Q'$ meet in $T,$ and $QQ'$ is bisected in $V$. Prove that $CVT$ is a straight line, and if it cuts the circle in $P,$ shew that $CV \cdot CT=CP^2$.
$\;\;\;$ Deduce that the line joining the mid-points of $TQ, TQ'$ does not meet the circle.
$\;\;\;$ Apply the method of orthogonal projection to obtain corresponding theorems for an ellipse.

2. A given pencil of four rays is cut by a transversal. Prove that the cross-ratio of the intercepts on the transversal is constant.
$\;\;\;$ The angular points of a triangle move on fixed straight lines which meet in a point ; prove that, if two of the sides pass through fixed points, the third side also passes through a fixed point, which is collinear with the first two fixed points.

3. If $ y = ax + bx^2 + cx^3 + ... $
shew that if $x$ is expanded in a series of ascending powers of $y$ the first three terms of the expansion are
$$ x = \frac{y}{a} - \frac{by^2}{a^3} - \frac{(2b^2-ac)y^3}{a^5} + ... $$

4. A chain of three rods $AB, EC, CD,$ of lengths $5, 10, 5,$ feet, respectively, has its ends $A$ and $D$ attached to fixed points at the same level $18$ feet apart. The chain initially hangs with $BC$ horizontal and $3$ feet below $AD$. The rod $AB$ is then rotated about $A$ in a vertical plane until $B$ is $2.5$ feet above $AD$. Calculate the angular displacement produced in $CD$.

5. Find the radius of the inscribed circle of a triangle in terms of the sides. Find also the segments into which the sides are divided by the points of contact with the circle.
$\;\;\;$ The inscribed circle of the triangle $ABC$ touches $BC$ at $P, AQ$ is the perpendicular from $A$ on $BC, AR$ the bisector of the angle $A,$ and $D$ is the middle point of $BC$. Prove that $DQ \cdot DR = DP^2$.

6. Find the angle between the two straight lines whose equations are
$$ax + by + c = 0,\;\;\; a'x + b'y + c' = 0.$$
$\;\;\;$ The equation of the bisector of the angle between two straight lines is $7x - 4y + 1 = 0$. The equation of one of the lines is $3x + 4y= 11$ ; find the equation of the other.

7. Find an expression for the length of the tangent to a sphere from a point, having given the coordinates of the point and the equation of the sphere.
$\;\;\;$ Prove that, if a sphere cuts orthogonally two spheres whose equations are $S = 0$ and $S' = 0$, it will cut orthogonally the sphere whose equation is $S + \lambda S' = 0$.

8. Shew how to find the asymptotes of ah algebraic curve when the terms of highest degree can be resolved into unrepeated linear factors.
$\;\;\;$ Find the asymptotes of the curve whose equation is
$$ x(x^2-y^2) + x^2 + y^2 + x + y = 0.$$

9. Shew how to find the maximum and minimum values of a function of one variable.
$\;\;\; P$ is a point on the circle whose equation is
$$ (x-h)^2 + (y-h)^2 = a^2,\;\; (h>a),$$
and $PM,\; PN$ are the perpendiculars on the axes. Find the positions of $P$ when the triangle $PMN$ is a maximum or a minimum, and shew that there are two maximum positions
or one, according as $h$ is less or greater than $a\sqrt{2}$.

10. Apply the transformation $t = \tan \frac12x$ to the integrals
$$ \int \frac{4dx}{5+3\cos x},\;\;\; \int \frac{4dx}{3+5\cos x}$$
Hence or otherwise evaluate these integrals, to the nearest hundredth, when the limits are $x = 0$ and $\frac12\pi$. Prove in anyway that the second is the greater of the two integrals, when taken between $0$ and $\frac12\pi$.


โจทย์ครบทั้ง 10 ข้อแล้วครับ

[Switchgear]

ข้อสอบชุดที่ 4 ที่เพิ่งโพสต์ไปนั้น โดยส่วนตัวแล้ว ผมกลัวข้อ 3 มากที่สุด ... ดูแล้วน่าจะหินกว่าข้ออื่น ?
แล้วเพื่อนๆ เห็นว่าข้อไหนน่ากลัวละครับ

[TOP]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

3. If $ y = ax + bx^2 + cx^3 + ... $
shew that if $x$ is expanded in a series of ascending powers of $y$ the first three terms of the expansion are
$$ x = \frac{y}{a} - \frac{by^2}{a^3} - \frac{(2b^2-ac)y^3}{a^5} + ... $$

ข้อนี้เป็นการผันกลับของอนุกรมครับ ผมเห็นครั้งแรกในหนังสือปกิณกสูตรคณิตศาสตร์ เคยค้นหาวิธีคิดในหนังสืออื่น แต่ไม่พบ อยู่มาวันหนึ่งลองหยิบกระดาษขึ้นมาเริ่มคิด ก็พบว่าใช้แค่หลักการเทียบสัมประสิทธิ์เท่านั้นเอง

สมมติให้ $x = A_1y + A_2y^2 + A_3y^3 + \ldots$
แทนค่า $y$ ลงไปก็จะได้
$x = (A_1 a)x + (A_1 b + A_2 a^2)x^2 + (A_1 c + 2A_2 ab + A_3 a^3)x^3 + \ldots$
เทียบสัมประสิทธิ์ทั้งสองข้างจะได้
$A_1 a = 1$ หรือ $A_1 = \dfrac{1}{a}$
$A_1 b + A_2 a^2 = 0$ หรือ $A_2 = -\dfrac{b}{a^3}$
$A_1 c + 2A_2 ab + A_3 a^3 = 0$ หรือ $A_3 = \dfrac{2b^2 - ac}{a^5}$

ส่วนนี่คือสูตรที่มีอยู่ในหนังสือปกิณกสูตรคณิตศาสตร์

ให้ $y = a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots$ เมื่อ $a_1 \not= 0$
เพื่อหาสัมประสิทธิ์ของอนุกรม
$x = A_1 y + A_2 y^2 + A_3 y^3 + \ldots$
จะได้
$\begin{array}{rcl}
A_1 & = & \dfrac{1}{a_1} \\
A_2 & = & -\dfrac{a_2}{a_1^3}\\
A_3 & = & \dfrac{2a_2^2 - a_1 a_3}{a_1^5}\\
A_4 & = & \dfrac{5a_1 a_2 a_3 - a_1^2 a_4 -5a_2^3}{a_1^7}\\
A_5 & = & \dfrac{6a_1^2 a_2 a_4 + 3a_1^2 a_3^2 +14a_2^4 - a_1^3 a_5 - 21a_1 a_2^2 a_3}{a_1^9}\\
A_6 & = & \dfrac{7a_1^3 a_2 a_5 + 7a_1^3 a_3 a_4 - 84a_1 a_2^3 a_3 - a_1^4 a_6 - 28a_1^2 a_2^2 a_4 - 28 a_1^2 a_2 a_3^2 - 42a_2^5}{a_1^{11}}
\end{array}$

[Switchgear]

หนังสือปกิณกสูตรคณิตศาสตร์ ที่คุณ Top พูดถึงเป็นชื่อนี้เลย หรือว่าแปลชื่อจากภาษาอังกฤษครับ
และใครเป็นผู้แต่ง รวมทั้งหาซื้อได้ที่ไหน ... ผมยังไม่เคยเห็น เผื่อยังหาซื้อได้ จะได้ลองอ่านดูบ้าง

[TOP]

เป็นพ็อกเก็ตบุ๊กภาษาไทยชื่อตามนั้นเลยครับ รวบรวมโดย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ สุพพัดดา ปวนะฤทธิ์
จัดพิมพ์โดย สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย มีจำนวน 94 หน้า ISBN: 974-583-401-7
ซื้อที่ศูนย์หนังสือจุฬา ในปีพ.ศ. 2537 ไม่แน่ใจว่าปัจจุบันยังมีวางจำหน่ายหรือไม่ แต่หาอ่านได้ที่หอกลาง หรือห้องสมุดตามมหาวิทยาลัยต่างๆ

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

คุณ mercedesbenz ลองเฉลยข้อ 5(3) ต่อเลยซิครับ

เท่าที่อ่านดู 2 ข้อแรกก็ OK แล้ว ... ขอบคุณแทนเพื่อนทุกคนด้วย

กำลังพยายามครับ ตอนแรกเขียนในกระดาษเศษแล้วแต่หายไป
5(3) เท่าที่จำได้ derive ได้จาก สูตรของ sin3A ครับเผื่อว่ามีคนอยากทำด้วยครับ
ถ้ายังไงจะลองทำดูอีกทีนะครับ
ว่าแต่ว่าข้อสอบยากมหายากจริงนะครับเนี่ย

[Switchgear]

แวะเอาโจทย์มาเติมในความเห็นที่ 20 แล้วครับ

ทิ้งช่วงไปนานเลยสำหรับกระทู้นี้ ... น่าเสียดายที่หาเฉลยไม่ได้ เลยไม่ค่อยจูงใจให้ติดตามอ่าน

[Switchgear]

หากใครคิดข้อไหนออก ก็ช่วยกันโพสต์ด้วยนะครับ ผิดถูกเดี๋ยวคนอ่านก็ทักท้วงเอง
ถือว่าเป็นวิทยาทาน ไม่งั้นกระทู้นี้คงไปต่ออีกไม่กี่ความเห็น ... เพราะมีแต่โจทย์ทั้งนั้น
คนเปิดเข้ามาอ่านก็คงเซ็งไปตามๆ กัน