Linear

[kanji]

งง เลยครับ

[nooonuii]

สำหรับข้อ 2 $\mathbb{R}[x]$ เป็น vector space over $\mathbb{R}$ with basis $\{1,x,x^2,...\}$. จากนั้นเลือก subspace ที่ span โดย $1,x^2,x^4,...$ ซึ่งก็คือเซตของพหุนามในรูป $P(x^2)$ ทั้งหมดครับ จะเห็นว่าทั้งสองอันนี้มี dimension เท่ากันครับ แต่อันนึงเป็นสับเซตแท้ของอีกอันนึง

ส่วนข้อที่เหลือเดี๋ยวตามมาเก็บให้สุดสัปดาห์ครับ ช่วงนี้ยุ่งเหมือนกัน

[kanji]

ครับผม ยากโคตร

[nooonuii]

โจทย์พวกนี้ผมว่าไม่ยากมากครับ แต่ยุ่งยากในการเขียนจนบางครั้งแทบจะไม่อยากทำเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

ชุด 2. ครับผม
1.Let $S$ be a subset of a vector space $V$ such that $S$ spans $V$.Prove that there exists a basis $B$ for $V$ such that $B\subseteq S$.

ไม่รู้ว่าถูกรึเปล่าครับ เพราะผมไม่ได้ใช้ Zorn's Lemma มานานมากแล้ว ช่วงนี้ขลุกอยู่แต่วิชาทาง Analysis

Let $\mathcal{C} = \{B\subseteq S|B$ is linearly independent $\}$. Define a partial order on $\mathcal{C}$ by set inclusion. Let $C:=B_1\subseteq B_2\subseteq\cdots$ be a chain in $\mathcal{C}$. Then $\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\subseteq S}$ and independent. Thus $C$ has an upper bound. By Zorn's Lemma, $\mathcal{C}$ has a maximal element, say $B$. We will show that $S\subseteq <B>$. Suppose not. Let $v\in S-<B>$. It is not hard to see that $B\cup \{v\}\subseteq S$ is linearly independent. Thus $B\cup\{v\}\in \mathcal{C}$, contradicting the maximality of $B$.
Hence $S\subseteq <B>$,so $V=<S>=<B>$. Therefore, $B\subseteq S$ is a basis for $V$.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

3.Let $V$ be a vector space,$A\subseteq V$ which span $V$,and $C$ a linearly independent subset of $A$. Prove that there exists a basis $B$ of $V$ such that $C\subseteq B\subseteq A$.

Zorn's Lemma Again!! Use the same idea as in #1.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

4.Let $V$ be a finite-dimensional vector space and $B$ a linearly independent subset of $V$.
Prove that if $card B=dim V$,then $B$ is a basis of $V$.

Let $B=\{x_1,...,x_n\}$. Suppose $V\neq <B>$. Let $v\in V-<B>$. It is not hard to see that $B\cup\{v\}$ is linearly independent. Thus $dim V \geq n+1$, a contradiction.

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

5.Let $V$ be a finite-dimensional vector space and $B$ span $V$.
Prove that if $card B=dim V$,then $B$ is a basis of $V$.

By #1, There is a basis $C\subseteq B$. Since $C$ is a basis, $C$ has dim$V$ elements. Thus $|C|=|B|$ and hence $B=C$. Therefore $B$ is a basis.

[kanji]

ข้อ 3 เราต้องสร้างเซตขึ้นมาคล้ายข้อ 1 เหรอครับ
โดยข้อ1 จะได้ว่า there exist a basis $B$ of $V$ such that $B\subseteq A$
ดังนั้น เราก้เพียงสร้างเซต $L=\{ U\subset A : U$ span A $\}$. หรือป่าวครับ

[nooonuii]

ถ้าสร้างแบบนี้แล้วเราจะหา basis ที่ทำให้ C เป็นสับเซตได้ยังไงครับ
จริงๆแล้วเราทำเหมือนข้อแรกทุกอย่างเลยครับเพียงแค่ใส่เงื่อนไขว่า C เป็นสับเซตด้วยแค่นั้นเอง

[kanji]

หมายถึง ให้เงื่อนไข C เป็นสับเซตของ B เหรอครับ งง จัง ครับ ให้ใส่ตอนไหนอ่า ครับ ตอนที่ B เป้น max เหรอครับ

[nooonuii]

ตอนสร้างเซต $\mathcal{C}$ เลยครับ

$\mathcal{C}=\{B|C\subseteq B$ and $B$ is linearly independent$\}$

[kanji]

ขอบคุณครับ