Topology question again and again

[konkoonJAi]

ใน Metric space $(\mathbb{R}^2,d)$ จงพิจารณาว่า เซตต่อไปนี้เป็นเซตเปิดหรือไม่
$A=\{(x,y)\left|\,\right. x+y>0\}$
พิสูจน์ ให้ $(x_0,y_0) \in A$ ,$r_0=\frac{x_0+y_0}{2}>0$
ให้ $(x,y) \in B_d((x_0,y_0);r_0)$
ดังนั้น $d((x,y),(x_0,y_0))<r_0$
นั่นคือ $(x-x_0)^2-(y-y_0)^2<(\frac{x_0+y_0}{2})^2$
ถ้าเราได้ว่า $x+y>0$ $(x,y) \in A$
แล้วเราจะไดว่า A เป็นเซตเปิดค่ะ
แต่ตอนนี้ยังแสดง x+y>0 ไม่ได้ ช่วยทีนะคะ

[konkoonJAi]

Deffinitton A metric space $X$ is said to be separable if we can find a countable subset M of X such that $\overline{M}=X$
Exercise $X=l^{\infty}$ คือเซตของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่มีขอบเขต นั่นคือ สมาชิกของ $X$ จะเป็นลำดับของจำนวนเชิงซ้อน $x=(\xi _1,\xi _2,..)$ หรือ $x=(\xi _j)$ สำหรับทุก j=1,2,... ซึ่ง $ \left|\,\xi _j\right|\leq c_x$ เมื่อ $c_x$ เป็นจำนวนจริงซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามค่าของ $x$ แต่ไม่เปลี่ยนแปลงตาม j กำหนดฟังก์ชัน $D:l^{\infty}\times l^{\infty}\rightarrow \mathbb{R}$ โดย
$$d(x,y)=\displaystyle{sup_{j \in \mathbb{N}}}\left|\ \xi _j -\ \eta _j\right| $$
เมื่อ $y=(\eta _j) \in l^{\infty}$
จงแสดงว่า $l^{\infty}$ ไม่เป็น separable set
หมายเหตุ: ได้แสดงแล้วว่า $(l^{\infty},d)$ เป็น metric space
คือตอนนี้ยังแสดงไม่ได้ว่า $l^{\infty}$ ไม่เป็น separable set
ถ้าใครสนใจลองทำดูนะคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ konkoonJAi

ใน Metric space $(\mathbb{R}^2,d)$ จงพิจารณาว่า เซตต่อไปนี้เป็นเซตเปิดหรือไม่
$A=\{(x,y)\left|\,\right. x+y>0\}$
พิสูจน์ ให้ $(x_0,y_0) \in A$ ,$r_0=\frac{x_0+y_0}{2}>0$
ให้ $(x,y) \in B_d((x_0,y_0);r_0)$
ดังนั้น $d((x,y),(x_0,y_0))<r_0$
นั่นคือ $(x-x_0)^2-(y-y_0)^2<(\frac{x_0+y_0}{2})^2$
ถ้าเราได้ว่า $x+y>0$ $(x,y) \in A$
แล้วเราจะไดว่า A เป็นเซตเปิดค่ะ
แต่ตอนนี้ยังแสดง x+y>0 ไม่ได้ ช่วยทีนะคะ

$|x-x_0|^2 \leq (x-x_0)^2+(y-y_0)^2 < (\dfrac{x_0+y_0}{2})^2$

$|x-x_0|<\dfrac{x_0+y_0}{2}$

$x > .....$

ในทำนองเดียวกัน

$y>...$

ข้อนี้ถ้าอยากทำสองบรรทัดจบ

อ้างว่า $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ defined by $f(x,y)=x+y$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (เพราะหาอนุพันธ์ได้)

ดังนั้น $A=f^{-1}((0,\infty))$ เป็นเซตเปิด ตามคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

[M@gpie]

โอ้ว วิธีของพี่ noonuii สั้นจริงๆครับ