ตะลุยโจทย์ยามว่าง

[Mastermander]

ช่วงนี้ผมว่างๆไม่มีอะไรทำ เลยจะมาขอโจทย์ทำไปเพลินๆครับ

ใครอยากร่วมสนุกเชิญเลยครับ...

ขอเป็นโจทย์ทั่วๆไปครับไม่เจาะจงว่าต้องเป็นเรื่องใด

(ตั้งหมายเลขข้อด้วยนะครับ)

ผมเริ่มก่อนเลยละกัน

1. Calculate $$\dfrac12-\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot4} -\dfrac{1}{4\cdot5}+\dots$$

ใครจะทำก็เชิญครับ ใครไม่ทำก็ขอเชิญตั้งโจทย์ใหม่ครับ

[nongtum]

2. Evaluate the limit $$\lim_{n\to\infty}\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^n}.$$

ปล. ดีใจด้วยที่ว่างครับ อยากว่างแบบนั้นบ้างจัง

[M@gpie]

3. Detemine the limit \[ \lim_{x\rightarrow \infty} (\sqrt[3]{x^3+3x^2} - \sqrt{x^2+x})\]

ป.ล. อยากว่างด้วยคนครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
2. Evaluate the limit $$\lim_{n\to\infty}\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^n}.$$

Let \[
L_n = \cos \frac{\pi }{{2^2 }}\cos \frac{\pi }{{2^3 }} \cdots \cos \frac{\pi }{{2^n }}
\]\[
2\sin \frac{\pi }{{2^n }}L_n = \cos \frac{\pi }{{2^2 }}\cos \frac{\pi }{{2^3 }} \cdots \cos \frac{\pi }{{2^{n - 1} }}\sin \frac{\pi }{{2^{n - 1} }}
\]\[
2^2 \sin \frac{\pi }{{2^n }}L_n = \cos \frac{\pi }{{2^2 }}\cos \frac{\pi }{{2^3 }} \cdots \cos \frac{\pi }{{2^{n - 2} }}\sin \frac{\pi }{{2^{n - 2} }}\]$$ \vdots $$ \[
2^{n - 1} \sin \frac{\pi }{{2^n }}L_n = \sin \frac{\pi }{2} = 1\]\[
L_n = \frac{{2^{1 - n} }}{{\sin \frac{\pi }{{2^n }}}} = 2\cdot\frac{{2^{ - n} }}{{\sin \left( {2^{ - n} \pi } \right)}}\]
Set $\; 2^{ - n} \pi = u\quad ,\;n \to \infty ;u \to 0$
\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } L_n = \mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{2}{\pi }\left( {\frac{u}{{\sin u}}} \right) = \frac{2}{\pi }
\]

3.

ตอบ $\dfrac12$ รึเปล่าครับ

[nongtum]

คำตอบและวิธีทำข้อ 2 ถูกแล้วครับ งั้นลองเปลี่ยนมาแก้สมการกัน

4. Determine all solutions to the following infinite system of linear equations in the infinite many unknowns $x_1,\ x_2,\dots$ : $$\begin{array}{ccl}
x_1+x_3+x_5&=&0\\
x_2+x_4+x_6&=&0\\
x_3+x_5+x_7&=&0\\
\vdots&&\vdots\\
\end{array}$$How many free parameters are required?

[M@gpie]

คำตอบบน้อง mastermander ถูกครับ

ข้อ 4. พี่ nongtum มี Hint ไหมครับ กำลัง งง ว่ามันกี่สมการกันแน่

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อ 4. พี่ nongtum มี Hint ไหมครับ กำลัง งง ว่ามันกี่สมการกันแน่

มีจำนวนสมการเป็นอนันต์ครับ

[Mastermander]

ข้อ 4. ผ่านครับ

[nongtum]

ข้อ 4 ไม่ยากนะครับ ใช้ความรู้เผลอๆไม่เกินการแก้ระบบสมการแบบม.ต้นด้วย เพียงแต่ต้องสังเกตนิดนิง

งั้นข้อต่อไปก่อนละกัน

5. Given that $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi\ ,$$ find $f'(t)$ explicitly, where $$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-tx^2}\,dx ,\quad t>0.$$Hint: เปลี่ยนตัวแปร

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
4. Determine all solutions to the following infinite system of linear equations in the infinite many unknowns $x_1,\ x_2,\dots$ : $$\begin{array}{ccl}
x_1+x_3+x_5&=&0\\
x_2+x_4+x_6&=&0\\
x_3+x_5+x_7&=&0\\
\vdots&&\vdots\\
\end{array}$$How many free parameters are required?

ไล่ไปไล่มาเราจะพบว่า $x_n=x_{n+6}$ ดังนั้นจึงเหลือสมการที่ต้องแก้จริงๆคือ $$\begin{array}{rcl} x_1+x_3+x_5&=&0\\ x_2+x_4+x_6&=&0 \end{array}$$ ซึ่งเขียนคำตอบได้ไม่ยากโดยใช้ free parameters เป็นจำนวน 4 ตัวครับ

[Mastermander]

5. ให้ $u=\sqrt{t} x \to du = \sqrt t dx$

$$f(t) =\frac{1}{\sqrt t} \int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} \,du=\sqrt{\pi} t^{-1/2}$$

$$f'(t) = -\frac12 \sqrt\pi t^{-3/2}$$

[nongtum]

ตอบเร็วจัง หาโจทย์ให้แทบไม่ทันแน่ะ

เอาแคลไปอีกข้อนะครับ

6. จงหา $F'(0)$ เมื่อกำหนดให้ $$F(x)=\int_{\sin x}^{\cos x}e^{t^2+xt}\,dt.$$
Hint: Use total derivative.

[M@gpie]

อ่า ผมนี่แย่จริงๆ แหะๆๆ


7. Prove that if a matrix $R$ is in row-echelon form, then the nonzero row vectors form a basis for the row space of $R$.

ข้อ 6. ต้องเป็นอินทิเกรตเทียบ $t$ รึเปล่าครับ พี่ nongtum

ผมขอใช้ Leibniz's rule for diffrentiating an integral ละกันนะครับ
\[ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t) dt = \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(x,t) dt + f(x,b(x))\frac{d}{dx}b(x) - f(x,a(x))\frac{d}{dx}a(x)\]
ให้ $f(x,t) = e^{t^2+xt}, \; \; a(x)= \sin x, \;\; b(x)= \cos x $
แทนสูตรข้างบนจะได้
\[ F'(x) = \int_{\sin x} ^{\cos x} te^{t^2+xt} dt -\sin x \cdot e^{\cos^2 x+ x\cos x} - \cos x \cdot e^{\sin^2x +x\sin x} \]
แทน $x=0$
\[ F'(0) = \int_{0} ^{1} te^{t^2} dt -1 = \frac{e-3}{2}\]
ถูกรึเปล่าครับเนี่ย รู้สึกวแหม่งๆ ยังไงๆ ชอบกล

[M@gpie]

ข้อนี้ผมอยากเห็น proof เต็มๆครับ แหะๆ ไม่รู้จะเขียนยังไง
8. Let $X,Y$ be normed linear space and $ T: X \rightarrow Y$ be a bounded linear operator such that $\|T \| \leq M $.
Prove that if there is a vector $x_0 \in X-\{ 0 \}$ such that $\|Tx_0 \| = M\|x_0\|$ then $\|T \| = M$.

[Onasdi]

9. Let $S(n)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k}$.
(i) Find all positive integers $a, b$ such that $S(a)+S(b)+S(a+b)=2007$.
(ii) Find all positive integers $c, d$ such that $S(c)+S(d)+S(c+d)=2008$.