ช่วยหาค่าอนุกรมอนันต์ให้หน่อยครับบบบ

[Yuka]

ช่วยแสดงวิธีพิสูจน์อนุกรมอนันต์ด้านล่างให้หน่อยครับ ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า

$$\sum_{n=1}^\infty[(\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)})-(\frac {k-1}{kn})]$$


ไม่ทราบว่าเราต้องหาค่าอนุกรมจำกัด $$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}$$ ก่อนรึป่าวครับ แล้วค่อยมาหาค่าผลบวกอนุกรมอนันต์

ผมหาค่าอนุกรมจำกัดไม่เป็นครับ(ยอมรับโง่มาก) ไม่ทราบว่ามันมีสูตรสำหรับหาค่าอนุกรมจำกัดรึป่าวครับ


อนุกรมจำกัดนี้ $$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}$$ มีวิธีหาค่าอย่างไงเหรอคับ




ช่วยสอนผมหน่อย ขอบคุณครับ

[poper]

$$S=\sum_{i=1}^{k-1}(\frac{1}{kn-(k-i)})-\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{kn-(k-1)}+\frac{1}{kn-(k-2)}+...+\frac{1}{kn-1}-\frac{k-1}{kn}$$ $$=\frac{1}{k(n-1)+1}+\frac{1}{k(n-1)+2}+...+\frac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\frac{k-1}{k(n-1)+k}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}S=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\frac{k-1}{k})+(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k-1}-\frac{k-1}{2k})+....$$ $$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}-1)+(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{2})+....$$ $$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k}+...)-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k}+...)=0$$
ไม่แน่ใจนะครับ

[Yuka]

ขอบคุณครับคุณpoper น่าจะไม่ผิดหรอกครับ ลองคิดตามดูแล้ว ผมว่าน่าจะใช่

ขอถามนิดนึงนะครับ บรรทัดสุดท้ายเทอมที่เป็นลบ เรารู้หรือสังเกตได้ไงว่ามีลบเศษหนึ่งส่วนเค บลาๆๆ

ทั้งเทอมนั้นเราจะรู้ได้ไงครับว่ามันจะเหมือนกับเทอมที่เป็นบวกด้านหน้าทุกตัว แล้วเวลาคุณpoperเจอโจทย์สามารถรู้ได้ไงว่าจัดรูปแล้วจะได้อย่างนี้ สุดยอดดดด ผมยังคิดไม่ถึงเลย ช่วยแนะนำหน่อยครับ



แล้วก็อีกคำถามนะครับ เวลาเราเจอซัมเมชั่นซ้อนกันสองอันแบบนี้ เราสามารถรันจากข้างในมาข้างนอก(แบบวิธีคุณpoper)ได้มั้ยครับ แล้วถ้ารันจากด้านนอกมาด้านในได้มั้ย(ผมว่าวิธีนี้ต้องยุ่งยากแน่ เพราะถ้าทำแบบนั้นอนุกรมจำกัดก็จะติดอยู่ทุกเทอม ผมเข้าใจถูกป่าวครับ) หรือเราต้องรันมันทั้งสองไปพร้อมๆกัน งง ครับ



ขอบคุณคร้าบบบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$$S=\sum_{i=1}^{k-1}(\frac{1}{kn-(k-i)})-\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{kn-(k-1)}+\frac{1}{kn-(k-2)}+...+\frac{1}{kn-1}-\frac{k-1}{kn}$$ $$=\frac{1}{k(n-1)+1}+\frac{1}{k(n-1)+2}+...+\frac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\frac{k-1}{k(n-1)+k}$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}S=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}-\frac{k-1}{k})+(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k-1}-\frac{k-1}{2k})+....$$ $$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}-1)+(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}-\frac{1}{2})+....$$ $$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k}+...)-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+...+\frac{1}{2k}+...)=0$$
ไม่แน่ใจนะครับ

เอาอนุกรมลู่ออกสองตัวมาลบกันแล้วมันจะลู่เข้าเสมอไปหรือครับ

[poper]

ไม่แน่ใจอ่ะครับ ถ้าลองคิดเป็นอนุกรมจำกัดก่อน คือ
$$\sum_{n=1}^{m}S=(1+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+..+\frac{1}{k}-1)+(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}-\frac{1}{2})+...+(\frac{1}{(m-1)k+1}+\frac{1}{(m-1)k+2}+...+\frac{1}{mk}-\frac{1}{m})$$
$$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{mk})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{m})$$ $$=\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{mk}$$
ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก พอถึงตรงนี้ก็ไม่แน่ใจแล้วครับว่าจะไปทางไหนต่อ
ถ้าพิจารณา $m\to\infty$ ก็น่าจะได้ 0 แต่สับสนเหมือนมีคนบอกว่าคิดแบบนี้ไม่ได้

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

ขอบคุณครับคุณpoper น่าจะไม่ผิดหรอกครับ ลองคิดตามดูแล้ว ผมว่าน่าจะใช่

ขอถามนิดนึงนะครับ บรรทัดสุดท้ายเทอมที่เป็นลบ เรารู้หรือสังเกตได้ไงว่ามีลบเศษหนึ่งส่วนเค บลาๆๆ

ทั้งเทอมนั้นเราจะรู้ได้ไงครับว่ามันจะเหมือนกับเทอมที่เป็นบวกด้านหน้าทุกตัว แล้วเวลาคุณpoperเจอโจทย์สามารถรู้ได้ไงว่าจัดรูปแล้วจะได้อย่างนี้ สุดยอดดดด ผมยังคิดไม่ถึงเลย ช่วยแนะนำหน่อยครับ



แล้วก็อีกคำถามนะครับ เวลาเราเจอซัมเมชั่นซ้อนกันสองอันแบบนี้ เราสามารถรันจากข้างในมาข้างนอก(แบบวิธีคุณpoper)ได้มั้ยครับ แล้วถ้ารันจากด้านนอกมาด้านในได้มั้ย(ผมว่าวิธีนี้ต้องยุ่งยากแน่ เพราะถ้าทำแบบนั้นอนุกรมจำกัดก็จะติดอยู่ทุกเทอม ผมเข้าใจถูกป่าวครับ) หรือเราต้องรันมันทั้งสองไปพร้อมๆกัน งง ครับ



ขอบคุณคร้าบบบ

อย่าพึ่งตั้งความหวังกับผมไว้มากขนาดนี้เลยครับ
บางครั้งก็ต้องลองผิดลองถูกบ้างนะครับ อย่างข้อนี้ขั้นแรกผมก็คิดว่ามันต้องมีรูปแบบแน่ๆ
ขีดๆเขียนๆแล้วก็ออกมาแบบที่เห็น
ส่วนเทอมหลังนั้นก็มาจากพจน์หลังสุด คือ $-\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{kn}-\frac{1}{n}
$ ครับ
นั่นคือ พจน์ที่เป็นลบคือ $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ อ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$$S=\sum_{i=1}^{k-1}(\frac{1}{kn-(k-i)})-\frac{k-1}{kn}$$

$$=\frac{1}{kn-(k-1)}+\frac{1}{kn-(k-2)}+\cdots+\frac{1}{kn-1}-\frac{k-1}{kn}$$

$$=\frac{1}{k(n-1)+1}+\frac{1}{k(n-1)+2}+...+\frac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\frac{k-1}{k(n-1)+k}$$

ลองสังเกตจากที่คุณ poper ทำไว้จะเห็นว่า $S>0$ เสมอครับ

ดังนั้นถ้าเอา $S$ เหล่านี้มาบวกกันยังไงก็ไม่ได้ศูนย์ครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ส่วนเทอมหลังนั้นก็มาจากพจน์หลังสุด คือ $\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{kn}-\frac{1}{n}$ ครับ

$\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{n}-\frac{1}{nk}$ ครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

$\frac{k-1}{kn}=\frac{1}{n}-\frac{1}{nk}$ ครับ

ขอโทษทีครับพอดีรีบไปหน่อย (แก้แล้วนะครับ)
สรุปข้อนี้ก็จะกลายเป็นลู่ออกสินะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

$$\sum_{n=1}^\infty\left[\left(\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}\right)-\left(\frac {k-1}{kn}\right)\right]$$

ให้ $\displaystyle{a_n=\left(\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}\right)-\left(\frac {k-1}{kn}\right)}$

จะได้

$a_n=\left(\dfrac{1}{k(n-1)+1}-\dfrac{1}{kn}\right)+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+2}-\dfrac{1}{kn}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\dfrac{1}{kn}\right)$

$~~~=\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)+2]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)+(k-1)]}$

$~~~<\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$~~~=\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}$

แต่อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}}$ ลู่เข้า

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

[poper]

ขอบคุณท่าน nooonuii ครับ
สุดยอดครับ แบบนี้ถ้าจัดรูปผิดก็ผิดเลยใช่มั้ยครับ
มองไม่ออกเลยครับว่า $\frac{k-1}{kn}=\sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{kn}$ นั่นเอง

[Yuka]

ขอบคุณ คุณpoper และคุณnooonuii มากนะครับ

[Yuka]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เอาอนุกรมลู่ออกสองตัวมาลบกันแล้วมันจะลู่เข้าเสมอไปหรือครับ

ผมเพิ่งไปอ่านพื้นฐานใหม่ ความจริงแล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty}(a_n)\pm \sum_{n = 1}^{\infty}(b_n)$

ถ้า$ลู่เข้า\pm ลู่เข้า$ จะได้ "ลู่เข้า"

ถ้า$ลู่ออก\pm ลู่เข้า$ หรือ $ลู่เข้า\pm ลู่ออก$ จะได้"ลู่ออก"

ถ้า$ลู่ออก\pm ลู่ออก$ สรุปไม่ได้





--------

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $\displaystyle{a_n=\left(\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}\right)-\left(\frac {k-1}{kn}\right)}$

จะได้

$a_n=\left(\dfrac{1}{k(n-1)+1}-\dfrac{1}{kn}\right)+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+2}-\dfrac{1}{kn}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\dfrac{1}{kn}\right)$

$~~~=\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)+2]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)+(k-1)]}$

$~~~<\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$~~~=\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}$

แต่อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}}$ ลู่เข้า

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

ขอบคุณครับ ผมรู้ว่าคำตอบมันลู่เข้า แต่คิดเท่าไหร่ก็ได้ลู่ออก ปวดหมองแล้วกัน

คุณช่วยแนะหน่อยได้มั้ยครับว่า

$~~~\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$~~~=\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}$ มาได้อย่างไง



ผมคิดได้อย่างนี้ครับ ไม่แน่ใจว่าคิดถูกรึป่าว

$~~~\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$$=\frac{1+2+3+4+...+ k-4 + k-3 + k-2 + k-1}{kn[k(n-1)]}$$


$$=\frac{k}{kn[k(n-1)]}\bullet(k-1)$$


$$=\frac{k-1}{kn(n-1)}$$

ช่วยแนะนำด้วยครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

คุณช่วยแนะหน่อยได้มั้ยครับว่า

$~~~\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$~~~=\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}$ มาได้อย่างไง



ผมคิดได้อย่างนี้ครับ ไม่แน่ใจว่าคิดถูกรึป่าว

$~~~\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$$=\frac{1+2+3+4+...+ k-4 + k-3 + k-2 + k-1}{kn[k(n-1)]}$$


$$=\frac{k}{kn[k(n-1)]}\bullet(k-1)$$


$$=\frac{k-1}{kn(n-1)}$$

ช่วยแนะนำด้วยครับ ขอบคุณครับ

ตก $2$ ไปตัวนึงที่เหลือถูกหมด

$1+2+3+\cdots+(k-1)=\dfrac{(k-1)(k)}{2}$

[Yuka]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตก $2$ ไปตัวนึงที่เหลือถูกหมด

$1+2+3+\cdots+(k-1)=\dfrac{(k-1)(k)}{2}$

คิดอย่างไงเหรอครับ ถึงมีหารด้วยสอง มาจากสูตรรึป่าวครับ

ขอบคุณครับ