ช่วยหาค่าอนุกรมอนันต์ให้หน่อยครับบบบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

คิดอย่างไงเหรอครับ ถึงมีหารด้วยสอง มาจากสูตรรึป่าวครับ

ขอบคุณครับ

มาจากสูตรนี้

$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

[Yuka]

ขอบคุณครับ


$~~~\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$$=\frac{1+2+3+4+...+ k-4 + k-3 + k-2 + k-1}{kn[k(n-1)]}$$

$$=\frac{k}{kn[k(n-1)]}\bullet(k-1)$$

$$=\frac{k-1}{kn(n-1)}$$

ถ้าอย่างนี้วิธีคิดของผมก็ไม่ถูกใช่มั้ยครับ เพราะ

$$\frac{1+2+3+4+...+ k-4 + k-3 + k-2 + k-1}{kn[k(n-1)]}=\frac{k}{kn[k(n-1)]}\bullet(k-1)$$

ผมคิดว่าตัวเลขมันหักล้างกันจนเหลือ $\frac{k}{kn[k(n-1)]}$ บวกกัน k-1 ครั้ง
ตัวเลขมันสามารถหักล้างกันได้มั้ยครับ ผมเข้าใจผิดตรงไหนบ้างครับ ช่วยแนะนำหน่อยครับ



ขอถามอีกอย่างนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $\displaystyle{a_n=\left(\sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{kn-(k-i)}\right)-\left(\frac {k-1}{kn}\right)}$

จะได้

$a_n=\left(\dfrac{1}{k(n-1)+1}-\dfrac{1}{kn}\right)+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+2}-\dfrac{1}{kn}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{k(n-1)+(k-1)}-\dfrac{1}{kn}\right)$

$~~~=\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)+2]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)+(k-1)]}$

$~~~<\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)]}$

$~~~=\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}$

แต่อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{k-1}{2kn(n-1)}}$ ลู่เข้า

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ ลู่เข้า โดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

ถ้าผมเอา k ออกด้วย อย่างนี้จะใช้ได้รึป่าวครับ

$~~~=\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)+2]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)+(k-1)]}$

$~~~<\dfrac{k-1}{n[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{n[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{n[k(n-1)]}$

เวลาเอาเลขออกเราสามารถเอาตัวไหนออกก็ได้ให้มันมากกว่ารึป่าวครับ เพราะบางโจทย์ผมเห็นใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสาตร์
ผมงงเลย แล้วข้อนี้ต้องใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ป่าวครับ

ขอบคุณครับ

[poper]

คำถามแรก ตัวเลขมันไม่ได้หักล้างกันนะครับ
เพราะมันขึ้นอยู่กับค่า $k$ (ซึ่งเราไม่ทราบค่า)
ตัวอย่างเช่น $k=5$
$(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+3+2+1=4+3+2+1=10$ แต่ถ้าคิดแบบคุณ Yuka จะได้
$(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+3+2+1=4\times5=20$ ซึ่งไม่จริงครับ
ที่คุณ nooonuii ทำไว้เป็นแบบนี้ครับ
$(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+3+2+1=k(k-1)-(1+2+3+...+(k-1))$ เพราะมีทั้งหมด $(k-1)$ วงเล็บ

[poper]

อีกคำถามที่ว่า เอา k ออกด้วยได้มั้ย
สำหรับข้อนี้เอา k ออกก็ไม่ทำให้ผลเปลี่ยนแปลงนะครับ
แต่คงทำแบบนี้ไม่ได้กับโจทย์ทั่วๆไปนะครับ คิดว่าจะทำได้เฉพาะ k ที่เป็นจำนวนนับนะครับ
รอท่าน nooonuii บอกอีกทีละกันครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuka

ถ้าผมเอา k ออกด้วย อย่างนี้จะใช้ได้รึป่าวครับ

$~~~=\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}+\dfrac{k-2}{kn[k(n-1)+2]}+\cdots+\dfrac{1}{kn[k(n-1)+(k-1)]}$

$~~~<\dfrac{k-1}{n[k(n-1)]}+\dfrac{k-2}{n[k(n-1)]}+\cdots+\dfrac{1}{n[k(n-1)]}$

เวลาเอาเลขออกเราสามารถเอาตัวไหนออกก็ได้ให้มันมากกว่ารึป่าวครับ เพราะบางโจทย์ผมเห็นใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสาตร์
ผมงงเลย แล้วข้อนี้ต้องใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ป่าวครับ

ขอบคุณครับ

คิดว่า $\dfrac{k-1}{kn[k(n-1)+1]}\leq \dfrac{k-1}{n[k(n-1)+1]}$ มั้ยล่ะครับ ถ้าใช่ก็ทำได้ครับ

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ใช้ได้ครับ แต่ใช้แล้วมันยากกว่าเดิมหรือเปล่าอันนี้อยากให้ลองเองครับ

เดาว่ากำลังแกะ paper อันหนึ่งอยู่

[Yuka]

ขอบคุณ คุณpoper และ คุณnooonuii อีกครั้งนะครับ
ทำให้ผมเข้าใจขึ้นเยอะเลย
ขอบคุณครับ