ช่วยแก้โจทย์ Topology ให้ทีครับ

[Pattern&Math]

1.ให้ $X=\left\{x\in R^2|x_1^2+x_2^2=1\,\right\} $ เป็นเซตของจุดในวงกลมที่รัศมี $1$ หน่วย (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) $d:X\times X\rightarrow R$ กำหนดโดย

\[ d(x,y) = \left\{\matrix{ 0 & , x = y\\ ความยาวของเส้นโค้ง xy เส้นสั้น & , x \not= y}\right.\]

จงพิสูจน์ว่า $d$ เป็นเมตริกบน $X$

[Pattern&Math]

2.ให้ $Z$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $m,n\in Z$ โดยที่ $m\not= n$ แล้วมี $t\in Z$ เพียงตัวเดียวที่ $m-n=p^tk$ โดย $k\in Z$ และ $p$ หาร $k$ ไม่ลงตัว
$$กำหนดฟังก์ชัน d:Z\times Z\rightarrow R$$ โดย
\[d(m,n) = \left\{\matrix{0 & , m=n\\ \frac{1}{p^t} & , m\not= n}\right.\]

จงพิสูจน์ว่า $(Z,d)$ เป็นเมตริกสเปซ

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

1.ให้ $X=\left\{x\in R^2|x_1^2+x_2^2=1\,\right\} $ เป็นเซตของจุดในวงกลมที่รัศมี $1$ หน่วย (จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) $d:X\times X\rightarrow R$ กำหนดโดย

\[ d(x,y) = \left\{\matrix{ 0 & , x = y\\ ความยาวของเส้นโค้ง xy เส้นสั้น & , x \not= y}\right.\]

จงพิสูจน์ว่า $d$ เป็นเมตริกบน $X$

Let $ x = (x_{1},x_{2}) \in R^{2} , y = (y_{1},y_{2}) \in R^{2}$ $((x_{1})^{2}+(x_{2})^2 = 1 )$

[ M1 ] $ d(x,y) \geqslant 0 $
Obvious.

[ M2 ] $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
Obvious.

[ M3 ] $ d(x,y) = d (y,x)$
Obvious.

[ M4 ] $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$

Let $z = (z_{1},z_{2}) \in R^{2}$
Case 1 : If $z$ lies on the short curve between two points x and y then
$d(x,y) = d(x,z) + d(z,y)$.

Case 2 : If $z$ does not lie on the short curve between two points x and y then
$d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$.

Thus $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$.

This shows that d is a metric on X

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

2.ให้ $Z$ เป็นเซตของจำนวนเต็ม $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า $m,n\in Z$ โดยที่ $m\not= n$ แล้วมี $t\in Z$ เพียงตัวเดียวที่ $m-n=p^tk$ โดย $k\in Z$ และ $p$ หาร $k$ ไม่ลงตัว
$$กำหนดฟังก์ชัน d:Z\times Z\rightarrow R$$ โดย
\[d(m,n) = \left\{\matrix{0 & , m=n\\ \frac{1}{p^t} & , m\not= n}\right.\]

จงพิสูจน์ว่า $(Z,d)$ เป็นเมตริกสเปซ

Let $ m,n \in Z $ s.t.$ m\not= n $ then $\exists !t_{1}$ s.t. $m - n = p^{t_{1}}k$ where
$k \in Z$ and $ p \not| k$
So, we have $ \frac{1}{p^{t_{1}}} = \frac{k}{m-n} = d(m,n) $

[M1] $d(m,n) \geqslant 0$
Obvious.

[M2] $d(m,n) = 0 \Leftrightarrow m=n$
Obvious.

[M3] $d(m,n) = d(n,m)$
Obvious.

[M4] $d(m,n) \leqslant d(m,r) + d(r,n)$

Let $r \in Z $ s.t. $r \not= m \not= n.$
Then $ \exists ! t_{2} \in Z$ s.t. $ m -r = p^{t_{2}}k$ ----(1)

and $ \exists ! t_{3} \in Z$ s.t. $ r -n = p^{t_{3}}k$ -----(2)

(1) +(2) yields,

$m - n = k(p^{t_{2}} + p^{t_{3}})$
or $\frac{k}{m-n} = \frac{1}{p^{t_{2}} + p^{t_{3}}} $

Thus, $d(m,n) = \frac{1}{p^{t_{1}}} = \frac{k}{m-n} = \frac{1}{p^{t_{2}} + p^{t_{3}}}\leqslant \frac{1}{p^{t_{2}}} + \frac{1}{p^{t_{3}}} = d(m,r) + d(r,n) $

This shows that d is a metric on Z. Hence, $(Z,d)$ is a metric space.

[Pattern&Math]

ขอบคุณคุณเรียวคุงมากๆครับ

[Pattern&Math]

3.ให้ $d$ เป็นยูชวลเมตริกบน $R$ และให้ $I_n= (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n} ) $ สำหรับทุก $n\in N$ จงพิสูจน์ว่า $\bigcap_{n = 1}^{\infty}I_n = [0,1]$ และ $[0,1]$ ไม่เป็นเนอบร์ฮูดของแต่ละจุดใน $[0,1]$


4.จงพิสูจน์ว่าโคลเชอร์ $\bar A $ ของ $A\subseteq X $ เมื่อ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซคือเซตของจุดที่ระยะจากจุดนั้นไปยัง $A$ เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\bar A =\left\{x|d(x,A)=0\,\right\} $


5.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ $A,B$ เป็นสับเซตของ $X$ ที่ $A,B$ เป็นเซตปิด และ $A\cap B = \phi$ จงพิสูจน์ว่ามีเซตเปิด $G,H$ ใน $X$ ที่ $A\subseteq G,B\subseteq H$ และ $G\cap H=\phi$

6.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ และ $A$ เป็นสับเซตของ $X$ แล้วจงพิสูจน์ว่า
$$X-\bar A =Int (X-A)$$

ขอความกรุณาด้วยครับ อ่านนิยาม กับ ทฤษฏีบท หลายรอบแล้วแต่ก็ยังไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงอ่ะครับ ใกล้สอบแล้วด้วยครับ ขอบพระคุณอย่างสูงครับ

[Pattern&Math]

สำหรับข้อนี้ผมอยากทราบความแตกต่างของแต่ละข้อย่อยอ่ะครับว่ามันต่างกันอย่างไรบ้าง

จากฟังก์ชัน $d$ ที่กำหนดในข้อข้างล่างนี้ จงพิสูจน์ว่าข้อใด $d$ เป็นเมตริกบน $R$
1.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^2 $
2.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^3 $
3.$d(x,y)=\left|x^2-y^2\,\right| $
4.$d(x,y)=\left|x^3-y^3\,\right| $

ขอความกรุณาด้วยครับ

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

3.ให้ $d$ เป็นยูชวลเมตริกบน $R$ และให้ $I_n= (-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n} ) $ สำหรับทุก $n\in N$ จงพิสูจน์ว่า $\bigcap_{n = 1}^{\infty}I_n = [0,1]$ และ $[0,1]$ ไม่เป็นเนอบร์ฮูดของแต่ละจุดใน $[0,1]$


4.จงพิสูจน์ว่าโคลเชอร์ $\bar A $ ของ $A\subseteq X $ เมื่อ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซคือเซตของจุดที่ระยะจากจุดนั้นไปยัง $A$ เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\bar A =\left\{x|d(x,A)=0\,\right\} $


5.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ $A,B$ เป็นสับเซตของ $X$ ที่ $A,B$ เป็นเซตปิด และ $A\cap B = \phi$ จงพิสูจน์ว่ามีเซตเปิด $G,H$ ใน $X$ ที่ $A\subseteq G,B\subseteq H$ และ $G\cap H=\phi$

6.ให้ $(X,d)$ เป็นเมตริกสเปซ และ $A$ เป็นสับเซตของ $X$ แล้วจงพิสูจน์ว่า
$$X-\bar A =Int (X-A)$$

ขอความกรุณาด้วยครับ อ่านนิยาม กับ ทฤษฏีบท หลายรอบแล้วแต่ก็ยังไม่รู้จะเริ่มต้นยังไงอ่ะครับ ใกล้สอบแล้วด้วยครับ ขอบพระคุณอย่างสูงครับ

ข้อ 3. พิจารณา sequence ของช่วง $I_{n} $ลองใช้คุณสมบัติที่ว่า $I_{n} เป็น ~decreasing ~~sequence ดูครับ
ส่วน nbhb ให้ลองพิจารณาที่จุดขอบของช่วง $[0,1]$ ครับ \\

ข้อ 4. ลองแยก case1,2 (A -closed, open) ต่อจากนั้นใช้นิยามที่ว่า
$$ \bar A = A \cup \{x | x \ is \ accumulation points of \ A \} $$ และ $$\bar A $$ is closed. \\
ถ้า $d(x,A) > 0$ แล้ว $$ \bar A $$ isn't closed. \\

ข้อ 5. พิจารณา
$$A = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} \} $$ ,~~~

$$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) < r_{2} \} $$

และ $$ A \cap B = \varnothing $$ เราสามารถเลือก \\
$$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ ได้ \\

ข้อ 6. แยก case 1,2 ( $A $ is closed, open ) แล้วพิสูจน์สับเซต ขาไปขากลับ
ขากลับน่าจะง่าย ส่วนขาไปลองพิสูจน์แบบขัดแย้งดูครับ

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

สำหรับข้อนี้ผมอยากทราบความแตกต่างของแต่ละข้อย่อยอ่ะครับว่ามันต่างกันอย่างไรบ้าง

จากฟังก์ชัน $d$ ที่กำหนดในข้อข้างล่างนี้ จงพิสูจน์ว่าข้อใด $d$ เป็นเมตริกบน $R$
1.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^2 $
2.$d(x,y)=\left|x-y\,\right|^3 $
3.$d(x,y)=\left|x^2-y^2\,\right| $
4.$d(x,y)=\left|x^3-y^3\,\right| $

ขอความกรุณาด้วยครับ

ผมไม่แน่ใจว่าผมเข้าใจถูกรึปล่าว พิจารณา [M1] - [M4] ดูครับ เชคแค่ [M4] ถ้าข้อไหนจริง ข้อนั้นก็เป็น metric บน R ครับ
1. เชค $d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)$
ให้ $x,y,z \in R$
$$d(x,y) = |x-y|^{2} = (x-y)^{2} \leqslant (x-z)^{2} + (z-y)^{2} ~~~ ? $$
ตอบแบบเข้าใจงูๆปลาๆครับ ข้อไหนผิดรบกวบท่านผู้รู้มาชี้แจงอีกทีครับ

[Pattern&Math]

ขอบคุณ คุณเรียงคุงอีกครั้งครับ

[Pattern&Math]

แต่ในหนังสือที่ผม อ่านเขาใช้วิธีเช็คแบบนี้ครับ $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ครับ มันเหมือนกันไหมอ่ะครับ

[Pattern&Math]

ถ้าเช็คแค่ 4 ข้อมันจะเป็นเมตริก เที่ยม เราต้องเช็คให้ครบทั้ง 5 ข้อหรือเปล่าครับ ขาดข้อที่ว่า $d(x,x)=0$ ไปอ่ะครับ

[Pattern&Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เรียวคุง

ข้อ 5. พิจารณา
$$A = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} \} $$ ,~~~

$$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) < r_{2} \} $$

และ $$ A \cap B = \varnothing $$ เราสามารถเลือก \\
$$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ ได้ \\

เซต $A,B$ เป็นเซตปิดด้วยนะครับ เงื่อนไขตรงนี้ต้องแก้เป็น แบบนี้ครับ $$A = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) \leqslant r_{1} \} $$ ,~~~

$$B = \breve B (y_{0},r_{2}) = \{ y \in X | d(y,y_{0}) \leqslant r_{2} \} $$

ผมงงตรงต่อจากนี้ไปอ่ะครับ เราต้องกำหนดอะไรเพิ่มเติมอีกหรือเปล่าครับ

แล็วก็ $$C = \breve B (x_{0},r_{1}) = \{ x \in X | d(x,x_{0}) < r_{1} + \varepsilon \} $$ \\
มาได้ยังไงอ่ะครับ ??

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

แต่ในหนังสือที่ผม อ่านเขาใช้วิธีเช็คแบบนี้ครับ $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ ครับ มันเหมือนกันไหมอ่ะครับ

เหมือนกันครับ

[เรียวคุง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pattern&Math

ถ้าเช็คแค่ 4 ข้อมันจะเป็นเมตริก เที่ยม เราต้องเช็คให้ครบทั้ง 5 ข้อหรือเปล่าครับ ขาดข้อที่ว่า $d(x,x)=0$ ไปอ่ะครับ

เหมือนกันกับ [M2] ครับ $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y $

พิจารณาขากลับ แทน $y=x $ จะได้ว่า $ x = x \Rightarrow d(x,x) = 0 $