โท จุฬา วิชา 510 สอบครั้งแรก โคตรยาก 1/5/50

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[nongtum]

ลองเข้าไปดูแล้ว ภาพเล็กมาก เลือกให้ขยายภาพไม่ได้ โหลดแล้วขยายแล้วตัวหนังสือก็แตก
ลองหาฟรีโฮสต์รูปอื่นๆดูแล้วลิงค์มาอาจช่วยได้ครับ

[gon]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบ

ผมลองเข้าไปดูแล้วเหมือนกัน มันเล็กมากจริง ๆ ครับ.

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[expol]

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[M@gpie]

ทำเป็นแต่ข้อ 2. คับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ expol

4.One hundred and one numbers are chosen from the set {1,2,3,...,200}. Show that one must be a multiple of another.

It's one of the classical combinatorial problems!

SOLUTION:

It's obvious that each number in that set can be expressed of the form $ 2^k \cdot m $ where $k$ is nonnegative integer and $ m $ is odd number.

Moreover, there are at most 100 possible numbers of $m$.

Hence, by pigeonhole principle , there exists at least 2 integers ,say, $ 2^{k_1}\cdot m$ and $ 2^{k_2}\cdot m$ such that one must be a multiple of the other.


For question 2, we prove by contradiction and choose $ \epsilon = \frac{\mid a-b \mid}{2} $

For question 5, if such $ r$ exists, it must be integer. And use the fact that $r^2 \equiv 0,1 \pmod{4} $ to give the contradiction.

[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ expol

10.Show that in any group of 10 people,there is either a set of 3 mutual strangers or a set of 4 mutual friends.

สมมติให้ใน 10 คนนี้มีคนนึงชื่อ นาเดีย

กรณีที่ 1: มีคนที่รู้จักกับนาเดีย (ไม่นับรวมตัวนาเดียเองนะครับ) อย่างน้อย 6 คน

ดังนั้นจากทฤษฎีบทสุดฮิตเรารู้ว่า ในกลุ่มคนที่รู้จักนาเดียนี้ จะต้องมี 3 mutual strangers หรือไม่ก็ 3 mutual friends ถ้ามี 3 mutual strangers ก็โอเคละ แต่ถ้ามี 3 mutual friends พอนับรวมนาเดียเข้าไปด้วยก็จะได้ 4 mutual friends ทันที

กรณีที่ 2: มีคนที่รู้จักกับนาเดียน้อยกว่า 6 คน

แสดงว่าต้องมีคนที่ไม่รู้จักนาเดียอย่างน้อย 4 คน เลือกคนที่ไม่รู้จักกับนาเดียนี้มา 4 คน ถ้า 4 คนนี้รู้จักกันหมด เราก็จะได้ 4 mutual friends แต่ถ้าไม่ใช่ ก็แสดงว่าต้องมีอยู่อย่างน้อย 2 คนที่ไม่รู้จักกัน พอนับรวมนาเดียเข้าไปด้วย ก็จะได้ี 3 mutual strangers ครับ

ป.ล. ผมทราบมาจากโฆษณาที่ วิชาการ.คอม ว่าคุณ expol ได้เกียรตินิยมด้วยนี่ครับ

[gon]

ข้อ 6. ครับ.
$f(n) = \cases{n-2 & , n \ge 1,000 \cr f(f(n+4)) & , n < 1,000} $

6.1)

f(999) = f(f(1003)) = f(1001) = 999
f(998) = f(f(1002)) = f(1000) = 998
f(997) = f(f(1001)) = f(999) = 999
f(996) = f(f(1000)) = f(998) = 998 (หาเผื่อไว้ใช้ต่อไป)

6.2) จะแสดงว่า $f(n) = \cases{999 & , n \in odd ,\ n \le 999 \cr 998 & , n \in even ,\ n \le 999} $ โดยอุปนัยคณิตศาสตร์ย้อนหลังอย่างเข้มดังนี้

ให้ P(n) แทนข้อความด้านบน

ขั้นฐาน : P(999) แทน f(999) = 999 ซึ่งเป็นจริง

ขั้นอุปนัย : สำหรับทุกจำนวนเต็ม k < 999
สมมติให้ P(k+1), P(k+2), P(k+3), P(k+4), ... , P(998), P(999) เป็นจริง

จะแสดงว่า P(k) เป็นจริง ดังนี้

โดยสมมติฐานของอุปนัยที่บอกว่า P(k+4) เป็นจริง ดังนั้น
$f(k+4) = \cases{999 & , k+4 \in odd ,\ k+4 \le 999 \cr 998 & , k+4 \in even ,\ k+4 \le 999} $

ดังนั้น
$f(f(k+4)) = \cases{f(999) & , k \in odd ,\ k \le 995 \cr f(998) & , k \in even ,\ k \le 995} $

ดังนั้น (จากเงื่อนไขของโจทย์) และจาก 6.1)
$f(k) = \cases{999 & , k \in odd ,\ k \le 995 \cr 998 & , k \in even ,\ k \le 995} $

แต่ f(999), f(998), f(997), f(996) เป็นจริงดังข้อ 6.1)

ดังนั้น $f(k) = \cases{999 & , k \in odd ,\ k \le 999 \cr 998 & , k \in even ,\ k \le 999} $

นั่นคือ P(k) เป็นจริง

โดยอุปนัยคณิตศาสตร์อย่างเข้มย้อนหลัง จึงสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงทุกจำนวนเต็ม $n \le 999$

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ expol

5.Prove that there is no rational $r$ such that $r^2=4n-1$ where $n$ is a positive integer.

สมมติว่ามีจำนวนตรรกยะ $r=p/q$ โดยที่ $p,q\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$
เพราะ $4n-1$ เป็นจำนวนเต็ม $r$ จะเป็นจำนวนเต็มด้วย (นั่นคือ $q\mid p$)
แต่ $4\mid r^2+1$ ขัดแย้งกับ $k^2\equiv 0,1\pmod4,\ \forall k\in\mathbb{Z}$

แก้ไข: เพิ่งเห็นว่าคุณ Passer-by เก็บข้อห้าไปแบบหนึ่งบรรทัดแล้ว งั้นเพิ่มข้อสามละกัน
It's easy to see that $[\frac1n,2-\frac1n]\subset[\frac1{n+1},2-\frac1{n+1}]$,
the union will also be the 'limit' to infinity of the interval sequence $[\frac1n,2-\frac1n]$, also [0,2].

[M@gpie]

ข้อ 2. จะใช้บทตั้งนี้ในการพิสูจน์
บทตั้ง : สำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon >0$ มีจำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $0 \leq x < \epsilon$ แล้วจะได้ว่า $x=0$

พิสูจน์ : สมมติให้ $x \neq 0$ จะได้ว่าสำหรับทุกจำนวนจริง $\epsilon >0$ มีจำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $0<x<\epsilon $
เลือก $\epsilon = \frac{1}{2}x$ จะได้ $0<x<\frac{1}{2}x $ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $x=0$ #

ใช้บทตั้งนี้กับข้อความในข้อ 2. โดยให้ $x=\vert a-b\vert $ จะได้ว่า $\vert a-b\vert =0 \Rightarrow a=b$ จะได้ข้อสรุปที่ต้องการ #

[nooonuii]

7.1 ทำตรงๆตามนิยาม

7.2 partition คือ {(1,1)}, {(1,2),(2,1)}, {(1,3),(2,2),(3,1)}, {(2,3),(3,2)}, {(3,3)}

8.1 $(\Rightarrow)$ Reflexive is clear. Let $(x,y),(y,z)\in R$. Then $(x,z)\in R$ by transitivity. Thus $(z,x)\in R$ by symmetry.

$(\Leftarrow)$ Reflexive is given. Suppose $(x,y)\in R$. Since $(y,y)\in R$ , we have $(y,x)\in R$ by assumption. Thus $R$ is symmetric. Next, let $(x,y),(y,z)\in R$. Then $(z,x)\in R$ by assumption. Thus $(x,z)\in R$ by symmetry. Therefore, $R$ is transitive.

8.2 Define a relation on $\{1,2\}$ by $R=\{(1,2)\}$. Then $R$ is circular (Why?)

[Rationalism]

พระเจ้าช่วย ตอนสอบเข้านี้ข้อสอบยากมากไหมครับ กำลังคิดอยู่ว่าจะต่อจุฬา หรือ ธรรมศาสตร์ดี

[expol]

แนะนำในการสอบเรียนต่อนะครับ
ยากมากครับ และเยอะด้วย อย่าคิดว่าจะทำทุกข้อนะครับ เพราะ มันจะพลาดได้ พยายามอ่านเงื่อนไข ดีดี บางที มันเป้นเท็จ เพราะ เราลืมเล็กๆๆน้อยๆ เช่น เซตว่าง ศูนย์ เป้นต้น

ตอนสอบอยากทำได้ แบบนี้จริง ผมสารภาพเลยนะครับ ว่าทำได้ ไม่ถึง ครึ่ง อาย จริงๆเวลามันก้ เดินเร้วด้วยคับ เขียนไปคิดไป เข้าห้องน้ำก้ไม่ได้ เสียดายเวลา

ขออภัยด้วยนะครับ ขอบคุณครับผม

[nooonuii]

อย่าคิดทำข้อสอบจุฬาให้ได้ทุกข้อ แต่ต้องเลือกทำข้อที่เรามั่นใจที่สุดให้เสร็จสมบูรณ์ที่สุดครับ

วิชานี้ใครสอนเหรอครับคุณ expol แค่วิชาปรับพื้นฐานก็ยากขนาดนี้กันแล้วหรือนี่

ตอนผมเรียนยังง่ายกว่านี้เยอะเลยครับ