|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#16
20 พฤษภาคม 2007, 13:41
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากเลยครับ ที่หาข้อสอบพร้อมเฉลย ของการแข่งขันที่เปรียบได้กับ ไตรกีฬามาราธอน
 อ้างอิง:
 อ้างอิง:
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 
|
|
#17
20 พฤษภาคม 2007, 20:52
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
4. Inscribe a circle in a given triangle. $\;\;\;$ Prove that four circles may be described, touching the three sides of a triangle, and that the square on the distance between the centres of any two, together with the square on the distance between the centres of the other two, is equal to the square on the diameter of the circle passing through the centres of any three. Solution: $\;\;\;$ It is known that the line joining any two of the centres of these circles is perpendicular to the line joining the other two. Let then $O, P, Q, R$ be the four centres, and through $Q, R$ draw $QE, RE$ respectively parallel to $OR, OQ$. Then the angle $ERQ$ is equal to the angle $RQO,$ and therefore is the complement of the angle $PRQ$. Hence $PRE$ is a right angle. Similarly $PQE$ is a right angle. Therefore the points $P, Q, R, E$ lie on the circumference of a circle, of which $PE$ is a diameter. Again $OREQ$ is a parallelogram, and therefore $ER$ is equal to $OQ$. Hence the square on $OQ$ and the square on $RP$ are together equal to the square on $PE,$ the diameter of the circle $PQR$. .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#18
20 พฤษภาคม 2007, 20:59
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
5. If the sides of two triangles, about each of their angles, be proportionals, the triangles shall be equiangular to one another, and shall have those angles equal which are opposite to the homologous sides. $\;\;\;$ The side $BC$ of a triangle $ABC$ is produced to $D$, so that the triangles $ABD, ACD$ are similar. Prove that $AD$ touches the circle described about the triangle $ABC$. Solution: $\;\;\;$ Since the triangles $ABD, \; ACD$ are similar to one another, and the angle at $D$ is common to both, it follows that the angles $ACD, \; BAD$ must be equal to one another, and the angles $DAC, \; ABC$ equal to one another. Hence $AD$ is to $CD$ as $BD$ is to $AD,$ and therefore the square on $DA$ is equal to the rectangle contained by $DB, \; DC$. Hence $DA$ touches the circle described about the triangle $ABC$. _
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#20
21 พฤษภาคม 2007, 22:03
|
||||
|
||||
|
ยากมากๆเลยครับนี่ขนาดปี1878นะครับเนี่ยเป็น100ปีแล้ว
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#21
22 พฤษภาคม 2007, 20:48
|
||||
|
||||
|
ถ้าย้อนกลับไปถึง 1,000 ปี โจทย์อาจยากกว่านี้อีกก็ได้ครับ เพราะว่าเขาคงใช้ภาษาโบราณที่เราแปลโจทย์ไม่ออก
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#22
24 พฤษภาคม 2007, 04:21
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
6. If two straight lines be cut by parallel planes, they shall be cut in the same ratio. $\;\;\;$ If an equifacial tetrahedron be cut by a plane parallel to two edges which do not meet, the perimeter of the parallelogram in which it is cut shall be double of either edge of the tetrahedron to which it is parallel. Solution: $\;\;\;$ Each edge of an equifacial tetrahedron is equal to the edge opposite to it. $\;\;\;$ Let $A, B, C, D$ be the four angular points of the given tetrahedron. Draw a plane, parallel to the edges $AB$ and $CD,$ meeting the edges $AC, AD, EG, BD$ in $E, F, G, H$ respectively. Then, $EFGH$ will be a parallelogram. And $EF$ is to $CD$ as $AE$ is to $AC$. Also $EH$ is to $AB$ as $CE$ is to $AC$. Therefore $EF$ and $EH$ together are equal to half $AB$ and $CD$ together. Or the perimeter of the parallelogram $EFGH$ must be equal to the sum of the edges $AB$ and $CD$. _
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#23
24 พฤษภาคม 2007, 04:33
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
7. In the parabola, prove that the distance between the foot of the ordinate of any point and the foot of the normal at that point is equal to half the latus-rectum. $\;\;\;$ Inscribe a circle in the segment of a parabola cut off by a double ordinate. Solution: $\;\;\;$ Let $QV$ be half the bounding ordinate of the parabola. From the axis cut off $VN$ equal to $QV$, draw $NP$ at right angles to the axis, and draw $PG$ the normal at $P; G$ shall be the centre of the required circle. $\;\;\;$ For $\;\; PN^2 = 4AS \cdot AN = 4AS \cdot AV - 4AS \cdot NV = 4AS \cdot AV - 4AS \cdot QV $ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = QV^2 - 4AS \cdot QV = QV^2 - 2NG \cdot QV ;$ therefore $\;\; PG^2 = QV^2 - 2NG \cdot QV + NG^2 = NV^2 - 2NG \cdot NV + NG^2 = GV^2 ;$ therefore $\;\; PG = GV ;$ and therefore $G$ is the centre of the required circle. _
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 24 พฤษภาคม 2007 04:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#24
24 พฤษภาคม 2007, 04:44
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
8. Prove that the tangent, at any point of an ellipse, makes equal angles with the focal distances of that point. $\;\;\;$ From the foci of an ellipse, perpendiculars are let fall to the tangent at any given point of the curve. With the feet of these perpendiculars as foci, an ellipse is described touching the axis major of the given ellipse. Prove that the point, in which it touches the axis major, will be the foot of the ordinate of the given point, and that the ellipse described will be similar to the given ellipse. Solution: $\;\;\;$ Let $SY, HZ$ be the perpendiculars from the foci on the tangent. Draw $PN$ perpendicular to the axis major, and join $SP, HP, YN, ZN$. Then, since $SYP$ and $SNP$ are each right angles, a circle can be described about the quadrilateral $SNPY,$ and therefore the angles $SNY, SPY$ are equal to one another. Similarly the angles $HNZ, HPZ$ are equal to one another. Therefore the angles $SNY, HNZ$ are equal to one another, and an ellipse described with $Y, Z$ as foci, and passing through $N,$ will touch $SH$ at $N$. $\;\;\;$ Again, $SP$ is the diameter of a circle in which $NY$ subtends the angle $NPY,$ and $HP$ is the diameter of a circle in which $NZ$ subtends the angle $NPZ,$ and these angles are supplementary. Hence $NY$ is to $NZ$ as $SP$ is to $HP$. And if through $Z$ we draw $ZV$ parallel to $SH,$ meeting $SY$ in $F,$ we see that VZ is the diameter of a circle, in which $YZ$ subtends the angle $YVZ,$ which is supplementary to $NPY$. Therefore $SH$ is to $YZ$ as $SP$ is to $YN,$ i.e. as $SP + HP$ is to $YN+ZN$. Therefore the distance between the foci of the new ellipse is to its axis major as the distance between the foci of the old ellipse is to its axis major; or the ellipses are similar. _
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 24 พฤษภาคม 2007 04:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#25
24 พฤษภาคม 2007, 04:51
|
||||
|
||||
|
เฉลยบางข้ออาจจะอ่านเข้าใจยากซักหน่อย เพราะในหนังสือเองเขาก็ไม่มีรูปประกอบให้เลย ...
แต่คิดว่าผู้อ่านคงพอจะจินตนาการและวาดรูปประกอบตามคำอธิบายได้เอง ข้อสอบทั้งหลายของปี 1878 คำเฉลยทุกข้อที่ให้ไว้นั้น เป็นการเฉลยโดยผู้ออกข้อสอบข้อนั้นๆ เองเลย โดยมีคนที่ทำหน้าที่ออกข้อสอบและเฉลยรวมทั้งหมด 5 คน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
|
#26
24 พฤษภาคม 2007, 05:35
|
|||
|
|||
อืมมม...เพิ่งสังเกตเห็นว่า ข้อ 6 รอบบ่าย จะง่ายสุดแล้วล่ะครับ
ขอแปะเฉพาะครึ่งหลังแล้วกััน เพราะครึ่งแรก มีให้เห็็นตามแบบเรียนอยู่แล้ว เพราะ $ a^2+b^2=1 $ ดังนั้น สามารถ derive ได้ไม่ยากว่า $ (a+b+1)^2 = 2(1+a)(1+b) $ จากนั้นก็ take log ทั้ง 2 ข้างครับ 
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|
|
#27
25 พฤษภาคม 2007, 23:56
|
||||
|
||||
|
ผมเช็คดูแล้ว วิธีของคุณ passer-by ถูกต้องตามที่เขาเฉลยไว้ ... เยี่ยมไปเลย
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 25 พฤษภาคม 2007 23:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#28
28 พฤษภาคม 2007, 17:20
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
9. Define conjugate diameters of an ellipse ; and prove that the sum of the squares on any two conjugate diameters is constant. $\;\;\;$ A system of parallelograms is inscribed in an ellipse whose sides are parallel to the equi-conjugate diameters ; prove that the sum of the squares on the sides is constant. Solution: $\;\;\;$ $CP, CD,$ being the equal conjugate diameters, we have, with the usual notation, $PV \cdot VG : QV^2 = CP^2 : CD^2;$ therefore $PV \cdot VG = QV^2.$ $\;\;\;$ But $PV \cdot VG = CP^2 - CV^2,$ then $CV^2 + QV^2 = CP^2,$ or $QQ'^2 + Qq^2 = 4CP^2;$ therefore the sum of the squares on the sides of the parallelogram is constant. ผมโพสต์ตามเฉลยของเขาซึ่งไม่มีรูปประกอบ ฉะนั้นตัวแปรที่เขาอ้างถึงบางครั้งก็อาจเข้าใจยาก ต้องขออภัยด้วยที่ผมก็หารูปไม่ได้
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 28 พฤษภาคม 2007 17:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#29
28 พฤษภาคม 2007, 17:33
|
||||
|
||||
|
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877.
เฉลยข้อสอบชุดที่ 1: MONDAY, December 31, 1877. 9:00 to 12:00
10. The tangents drawn from any point to a conic subtend equal angles at the focus. $\;\;\;$ If $P$ be any point of an hyperbola whose foci are $S$ and $H$, and if the tangent at $P$ meet an asymptote in $T$, the angle between that asymptote and $HP$ is double the angle $STP$. Solution: $\;\;\;$ Let $HP$ meet the asymptote in $K$. Join $SP$, and from $S$ draw $SL$ parallel to the asymptote. $\;\;\;$ Then $TP$ and the asymptote are the tangents from $T$, and $T{\hat S}L$ is the angle subtended at the focus by the asymptote ; therefore $\;\;\; P{\hat S}T = T{\hat S}L = S{\hat T}K = S{\hat T}P + K{\hat T}P ;$ therefore $\;\;\; P{\hat S}T + S{\hat T}P = 2S{\hat T}P + K{\hat T}P ,$ and $\;\;\; T{\hat P}S = T{\hat P}K ;$ therefore adding, and reversing sides, we have $\;\;\; 2S{\hat T}P + K{\hat T}P + T{\hat P}K = P{\hat S}T + S{\hat T}P + T{\hat P}S = 2 $ right angles $ = P{\hat K}T + K{\hat T}P + T{\hat P}K;$ therefore $\;\;\; 2S{\hat T}P = P{\hat K}T.$
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 28 พฤษภาคม 2007 17:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear
|
|
#30
28 พฤษภาคม 2007, 23:19
|
||||
|
||||
|
เห็นโจทย์และเฉลยมาหลายข้อแล้ว เพื่อนๆ คิดว่าระดับความยากของข้อสอบเทียบได้กับสนามแข่งขันระดับไหนของบ้านเรา ?
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| Cambridge?s Mathematical Tripos | Switchgear | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 26 | 18 มิถุนายน 2007 21:59 |
| โจทย์ real analysis เบื้องต้นอีกแล้วครับ เกี่ยวกับ Mathematical Induction | rigor | Calculus and Analysis | 7 | 13 มกราคม 2006 13:43 |
| The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 4 | 06 พฤษภาคม 2005 09:55 |
| The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
| British Mathematical Olympiad | Tony | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 15 เมษายน 2005 08:59 |
|
|
