Linear

[kanji]

1.Prove that $\left\{\,\right. f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \left|\,\right. f $ is continuous $\left.\,\right\} $ is a subspace of $\mathbb{R} ^\mathbb{R} $.
2.Let $U$ and $W$ be subspaces of a vector space $V$. Prove that $U\cup W$ is a subspace of $V$ if and only if $U\subseteq W$ or $W\subseteq U$.
3.Let $V$ be vector space over a field and $W_1,W_2,...,W_k\preceq V$. Prove that
(3.1) the sum $W_1+W_2+...+W_k$ is a subspace of $V$ which contains each of the subspace $W_i$.
(3.2) $W_1+W_2+...+W_k=\left\langle\,\right. W_1\cup W_2\cup ...\cup W_k\left.\,\right\rangle $.
4.Let $U$ and $W$ be subspaces over a vector space $V$. Prove that
(4.1) glb$\left\{\,U,W\right\}$ in $\left\{\,X\right. \left|\,\right. X\preceq V\left.\,\right\} =U\cap W$.
(4.2) lub$\left\{\,U,W\right\}$ in $\left\{\,X\right. \left|\,\right. X\preceq V\left.\,\right\} =\left\langle\,U\cup W\right\rangle =U+W$.

[M@gpie]

ข้อแรกตกลงว่าให้ prove ว่าเป็น subspace ของอะไรครับ ??
แล้ว เปรียบเทียบด้วยความสัมพันธ์ไหนครับ เห็นใช้เป็น $\preceq $ ผมไม่มั่นใจ

[kanji]

1. $R^R$ ครับ
2. $X\preceq V$ แทน $X$ subspace of $V$ ครับผม

[M@gpie]

$\mathbb{R}^\mathbb{R}$ หมายถึงอะไรเหรอคับ ผมไม่เคยเห็นแหะๆๆ

[kanji]

$\mathbb{R} ^\mathbb{R} :=\left\{\,\right. f\left|\,\right. f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \left.\,\right\} $ ครับผม
For each $f,g\in \mathbb{R} ^\mathbb{R} $ and $\alpha \in R $define
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ and ($\alpha$ )$f(x)$=$\alpha (f(x))$. for all $x\in R$

[nooonuii]

1. เป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่องครับ เช็คนิยามเอาตรงๆ

2. ขากลับเห็นได้ชัด สำหรับขาไป สมมติว่า $U-W\neq\emptyset,W-U\neq\emptyset$

ให้ $x\in U-W,y\in W-U$ ต่อไปพิจารณา $x-y$

ถ้า $x-y\in U$ เราจะได้ว่า $y = x - (x-y) \in U$ ซึ่งขัดแย้ง
ถ้า $x-y\in U$ เราจะได้ว่า $x = y + (x-y) \in W$ ซึ่งขัดแย้ง

อ้าวแล้ว $x-y$ จะอยู่ที่ไหนดี ที่สมมติไว้จึงเป็นไปไม่ได้ครับ

ข้อความนี้ยังจริงใน Group ด้วยครับ โดยเปลี่ยนคำว่า subspace เป็น subgroup
การพิสูจน์เลียนแบบโจทย์ข้อนี้ได้เลย จะเห็นว่าวิธีพิสูจน์ข้างบนไม่ได้ใช้โครงสร้างเชิง scalar ของ vector space เลยครับ ใช้แค่คุณสมบัติเชิง Group ของการบวกเท่านั้น

ข้อสามค่อนข้างมั่วขอข้ามละกัน ไม่ยากครับ ไล่นิยามเหมือนกัน

4. ข้อนี้ก็ไม่ยากใช้คุณสมบัติของเซตกับนิยามของ glb กับ lub ครับ

ขอทำ 4.2 ละกัน

เห็นได้ชัดว่า $U\subseteq U+W, W\subseteq U+W$ ดังนั้น $U+W$ เป็น upper bound
ให้ $T$ เป็น upper bound ของ $U,W$ จะได้ว่า $U\subseteq T,W\subseteq T$

ดังนั้น $U+W \subseteq T+T =T \Rightarrow U+W = lub(U,W)$

บรรทัดสุดท้ายนี่ต้องพิสูจน์การเป็นสับเซตด้วยครับ รวมทั้งพิสูจน์ว่า $T+T=T$ ด้วยครับ แต่ผมละไว้

[kanji]

ขอบคุณครับ เด๋วจะลองเคลียร์ครับ ถ้าไม่เข้าใจเด๋ยวมาถามอีกครับผม

[kanji]

5.Let $U$ be a subspace of a vector space $V$. For each $v\in V$, define
$v+U:=\left\{\,\right. v+u\left|\,\right. u\in U\left.\,\right\}$ .
5.1) Under what conditions is $v+U$ a subspace of $V$ ?.
The set $v+U$ is called an affine subspace of $V$.
5.2) Show that any two affine subspace of the form $v+u$ and $w+U$ are either equal or disjoint.

[kanji]

ข้อ4. นะครับ
เห้นชัดว่า $T\subset T+T$ แต่ $T+T\subset T$ ?
let $x\in T+T$ .There exist $t_1,t_2\in T$ such that $x=t_1+t_2$
ถามนะครับ ว่า $T$ เป็นสับสเปช ของ V.
เพราะ $T$ ที่ให้ เป็น upper bound ถูกไหม ครับ
สมมติว่าผม เข้าใจถูก แสดงว่า $T$ เป็นสับสเปชของ $V$ ดังนั้น $x=t_1+t_2\in T$. ใหม ครับ

[kanji]

ข้อ 3 เราต้อง แสดงว่า $W=W_1+W_2+...+W_k$ เป็นสับสเปช ของ $V$ ใช่ไหมครับ
แล้ว ที่บอกว่า contains each of the subspace $W_i$ ต้องแสดง ยังไง ครับผม งง.
แสดงยังงี้ได้ไหมครับ
$W_i=(-\frac{a_1}{a_i} )W_1+(-\frac{a_2}{a_i} )W_2+...+(-\frac{a_{i-1}}{a_i} )W_{i-1}+(-\frac{a_{i+1}}{a_i} )W_{i+1}+...+(-\frac{a_k}{a_i} )W_k$ . เมื่อ $a_i\not= 0 $ได้ไหม ครับ

[nooonuii]

5.1 $v+U$ เป็น subspace ก็ต่อเมื่อ $v\in U$ ครับ ข้อนี้ถ้ามีความรู้เรื่อง Group มาก่อนจะทำให้มองภาพได้ง่ายขึ้นครับ จริงๆแล้ว affine subspace มันก็คล้ายๆกับ coset ใน Group นั่นเองครับ

5.2 สร้างความสัมพันธ์ $v\sim w$ ก็ต่อเมื่อ $v-w\in U$ จากนั้นพิสูจน์ว่ามันเป็นความสัมพันธ์สมมูล และมี equivalence class เป็น affine subspace ถ้าได้ดังนี้แล้วก็ตอบคำถามโจทย์ได้ทันทีเพราะว่าความสัมพันธ์สมมูลจะ partition เซต $V$

[nooonuii]

ความคิดเห็นที่ 9 เข้าใจถูกแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

ข้อ 3 เราต้อง แสดงว่า $W=W_1+W_2+...+W_k$ เป็นสับสเปช ของ $V$ ใช่ไหมครับ
แล้ว ที่บอกว่า contains each of the subspace $W_i$ ต้องแสดง ยังไง ครับผม งง.
แสดงยังงี้ได้ไหมครับ
$W_i=(-\frac{a_1}{a_i} )W_1+(-\frac{a_2}{a_i} )W_2+...+(-\frac{a_{i-1}}{a_i} )W_{i-1}+(-\frac{a_{i+1}}{a_i} )W_{i+1}+...+(-\frac{a_k}{a_i} )W_k$ . เมื่อ $a_i\not= 0 $ได้ไหม ครับ

ตามนิยามเลยครับ

ให้ $w_i\in W_i$ เราจะได้ว่า $w_i = 0+0+\cdots + w_i+0+\cdots+0\in W_1+\cdots +W_n$

[kanji]

ชุด 2. ครับผม
1.Let $S$ be a subset of a vector space $V$ such that $S$ spans $V$.Prove that there exists a basis $B$ for $V$ such that $B\subseteq S$.
2.Show that there exist a vector space and its proper subspace with the same dimensions.
3.Let $V$ be a vector space,$A\subseteq V$ which span $V$,and $C$ a linearly independent subset of $A$. Prove that there exists a basis $B$ of $V$ such that $C\subseteq B\subseteq A$.
4.Let $V$ be a finite-dimensional vector space and $B$ a linearly independent subset of $V$.
Prove that if $card B=dim V$,then $B$ is a basis of $V$.
5.Let $V$ be a finite-dimensional vector space and $B$ span $V$.
Prove that if $card B=dim V$,then $B$ is a basis of $V$.

[nooonuii]

2. Consider $V=\mathbb{R}[x]$, the polynomial ring over $\mathbb{R}$.

ข้ออื่นน่าจะเป็นโจทย์มาตรฐานในหนังสือนะครับ