Topology question again and again

[suan123]

Define a function $f: (0,2\pi) \times (0,1) \rightarrow \mathbb{R} \times\mathbb{R}$ by $f(\theta ,t) = (tcos\theta ,tsin\theta ).$

1.Is $f$ continuous?
2.Find the closure $f((0,2\pi ) \times (0,1))$

[nooonuii]

1. Yes

2. We can view the function $f$ as a continuous function on the complex plane defined by $f(\theta,t)=te^{i\theta}$. From this viewpoint, we can see that the image of this function is an open annulus minus the positive real line $$A=\{z\in\mathbb{C} : 0<|z|<1\}-\{x\in\mathbb{R} : 0<x<1 \}$$
($t$ acts as the radius which is in the interval $(0,1)$ and $\theta$ acts as the angle which vary in the interval $(0,2\pi)$. Pictorially, it is the pac-man shaped set (when he shut his mouth).

Thus the closure of the image of $f$ is the unit disk $D^2=\{z\in\mathbb{C} : |z|\leq 1\}$. To find the closure, you can just add the boundary of this set.

[Rationalism]

1 Let M be a non-empty set,and let d be a real-valued function of ordered pairs of elements of M satisfying
$ i) d(x,y) = 0 \Longleftrightarrow x = y $
$ ii) d(x,y) \leq d(x,z) + d(y,z) $
Show that d is a metric on M.


ไม่รู้จะเริ่มต้นยังไง

[nooonuii]

ลองเช็คนิยามของ metric ดูครับว่ามีคุณสมบัติกี่ข้อ มีข้อไหนบ้างที่โจทย์กำหนดมาให้ มีข้อไหนบ้างที่เราต้องพิสูจน์ ลองดูว่าเราจะเอาเงื่อนไขที่โจทย์ให้มาไปพิสูจน์ข้อนั้นๆอย่างไรครับ

[Rationalism]

ที่โจทย์เขาให้มามีเฉพาะ ๆ เงื่อนไขที่สอง อีกสามเงื่อนไขต้องพิสูจน์เอง

$d(x,y)\geq0$
$d(x,y)=d(y,x)$
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

$Prove$ $d(x,y)\geq0$

แทนค่า i) ลงใน ii) จะได้ $0\leq d(x,z)+d(x,z)$
$0\leq d(x,z)$

แต่มันติดปัญหาตรงที่ กรณีที่$d(x,y)\not=0$จะต้องทำไง

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Rationalism

แต่มันติดปัญหาตรงที่ กรณีที่$d(x,y)\not=0$จะต้องทำไง

If I understand your question right, I think that after you can prove nonnegative of $d$ , the problem quoted above is solved immediately from hypothesis (i) by using the fact that $ p \Leftrightarrow q \equiv \sim p \Leftrightarrow \sim q $

[nooonuii]

คุณสมบัติข้อ 2 $d(x,y)=d(y,x)$ สำคัญที่สุดครับ ถ้าเราพิสูจน์ข้อนี้ได้

ข้อที่เหลือจะตามมาทันที ผมจะพิสูจน์ข้อนี้ให้ดูเป็นตัวอย่าง ส่วนข้อที่เหลือลองคิดต่อดูครับ

โดยคุณสมบัติข้อ (ii) เราได้

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(y,z)$ ทุก $x,y,z$

แทนค่า $z=x$ จะได้ $d(x,y)\leq d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)$

ดังนั้น

$d(x,y)\leq d(y,x)......(*)$

ใช้ข้อ (ii) อีกครั้ง

$d(y,x)\leq d(y,z)+d(x,z)$ ทุก $x,y,z$

แทนค่า $z=y$ จะได้

$d(y,x)\leq d(y,y)+d(x,y)=d(x,y)$

ดังนั้น

$d(y,x)\leq d(x,y)......(**)$

จาก $(*)$ และ $(**)$ เราจะได้ว่า

$d(x,y)=d(y,x)$

[suan123]

1.C is closed set and F is continuous function. Is F(c) closed ?

2.C is open set and F is continuous function. Is F(c) open ?

Thank you

[M@gpie]

ข้อ 1. ยังไม่แน่ใจครับลองมั่วก่อน
ข้อ 2. ไม่จำเป็นครับ ให้ $C=(0,2\pi), f(x)=\sin (x)$

[suan123]

งง ข้อ 1. เหมือนกันครับยังหาตัวอย่างขัดแย้งไม่ได้เหมือนกัน

รบกวนด้วยครับ

[nooonuii]

2. If $f$ is continuous and $C$ is closed and bounded (i.e., compact) then $f(C)$ is also closed and bounded. But the statement is not true in general.

I have two nice examples.

Let $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be defined by $$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$$
$$g(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
Then $f(\mathbb{R})=g(\mathbb{R})=(0,1]$ which is neither closed nor open. If we normalize these two functions(in $L^1$ norm) then we can see that the function $f$ is the density function of the standard normal distribution and $g$ is the density function of the Cauchy distribution.

[konkoonJAi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ suan123

1.C is closed set and F is continuous function. Is F(c) closed ?
2.C is open set and F is continuous function. Is F(c) open ?

ทราบมั้ยคะ ว่าเราต้องมีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติมถึงทำให้ข้อ 2 เป็นจริงตามข้อความที่กล่าวมา
คล้าย ๆ กับที่พี่ noonuii บอกเงื่อนไขของ ข้อ 1 น่ะค่ะ ว่า

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

2. If $f$ is continuous and $C$ is closed and bounded (i.e., compact) then $f(C)$ is also closed and bounded.

[M@gpie]

ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ

C is open set and F is continuous function. Is F(c) open ?
คำตอบคือไม่จำเป็น ตามตัวอย่างที่ผมให้ไปข้างบนนะคร้าบ แต่ถ้าอยากให้เป็นจริงคิดว่า เพิ่มเงื่อนไข $F$ is 1-1 and onto ก็จะเป็นจริงโดย open mapping theorem.

[nooonuii]

ถ้า $f$ continuous, 1-1, onto ก็อาจจะยังไม่จริงในกรณีทั่วไปนะครับ แต่ตัวอย่างอาจจะพิลึกพิลั่นหน่อยอย่างเช่น ถ้าให้ $$f: (\mathbb{R},D)\to (\mathbb{R},d)$$ นิยามโดย $f(x)=x$ เมื่อ $d$ เป็น usual metric on $\mathbb{R}$ induced by absolute value, $D$ เป็น discrete metric เราจะพบว่า $f$ continuous, 1-1, onto แต่ $f$ ไม่ส่ง open set ไปยัง open set

มีฟังก์ชันอยู่หลายประเภทที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้ครับ โดยทั่วไปเราเรียกฟังก์ชันที่ส่ง open set ไปยัง open set ว่า open map ครับ ตัวอย่างฟังก์ชันลักษณะนี้เช่น

Homeomorphism

Local Homeomorphism

Diffeomorphism

Local Diffeomorphism

Covering Map

เป็นต้น

แต่ละชื่อที่ผมอ้างมาอาจจะไม่คุ้นเคยกันเท่าไหร่เพราะพวกนี้อยู่ในวิชา Topology ระดับสูงอย่างเช่น Algebraic Topology หรือ Differential Geometry ครับ ถ้าจะให้คุ้นเคยกันมากขึ้นก็คงจะเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่หาอนุพันธ์ได้บนจำนวนจริง หรือไม่ก็พวก Bounded Linear operator ใน Functional Analysis ที่น้อง Magpie กล่าวมานี่แหละครับ

[M@gpie]

อ้อจริงด้วยครับ open mapping ที่ผมอ้างมันต้องอาศัยความเป็น Banach space