แจกเฉพาะกิจ (เฟส 3) : Undergraduate and olympiad

[passer-by]

กลับมาเร็วกว่าเดิมครับ สำหรับแจกเฉพาะกิจ (เฟส 3) รับวันลอยกระทงพอดี

เฟสนี้จะ มี 2 parts ครับ โดย part แรก จะเน้นความรู้ทางแคลคูลัส ซึ่งค่อนๆไปทางมหาวิทยาลัยนิดๆ ส่วน part ที่ 2 จะเป็นสไตล์โอลิมปิก แต่ไม่โหดครับ เพราะ ช่วง 2 เฟสก่อนหน้า มีคำถามแบบนี้เยอะพอแล้ว

ของที่จะแจก ก็ดูจากหัวของ PART ด้านล่างได้เลยครับ โดย PART 1 เป็นเล่มที่ผมชอบมาก แล้วก็กว่าจะควานหาหนังสือในตำนานเล่มนี้ได้ก็นานพอสมควร ส่วน ใน PART 2 เป็นข้อสอบสไตล์โอลิมปิก จากการแข่งขันในออสเตรเลียครับ

กติกาคล้ายๆเดิมครับ คือ
(1) คนที่จะเล่น ต้องยังไม่มีวุฒิ โทหรือ เอกทาง maths และไม่ใช่ moderator ที่นี่
(2) คนที่ได้คะแนนสูงสุดในแต่ละ part จะได้ของที่ผมว่าไป โดยแจ้งที่อยู่ให้ผมทาง pm เพื่อจะได้ส่งของให้ทางไปรษณีย์
(3) ถ้าสมมติในข้อใดข้อหนึ่งมีคนตอบถูกไปแล้ว คนที่ตอบถูกทีหลังในข้อนั้น ควรจะแสดงวิธีทำที่ต่างจากคนแรกอย่างเห็นได้ชัด จึงจะได้คะแนน
(4) ปิดรับทุกคำตอบวันอาทิตย์ 10 โมงเช้า เวลาประเทศไทย ครับ (เลื่อนเป็น 5 ทุ่ม ศุกร์ที่ 30 พ.ย.)

แต่ใน PART 1 ผมขอเพิ่มกติกาอีกนิดคือ
moderator ช่วย HINT ได้ครับ สำหรับ part นี้

PART 1 : "PROBLEM SEMINAR" (Donald J. Newman) (photocopied version)
1. (1 คะแนน) สมมติ $ f, g, f’, g’ $ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [0,1] และ $ g(x) \neq 0 \,\, \forall x \in [0,1] $

ถ้า $ f(0) = 0 \,\, , g(0)= e \,\, , f(1)=1004 \,\, , g(1)= 1 $
หาค่า $$ \int_0^1 \frac{f(x)g’(x)((g(x))^2-1)+f’(x)g(x)((g(x))^2+1)}{(g(x))^2} \,\, dx $$

2. (2 คะแนน) Solve initial-valued problem $$ xy' =y \ln(xy) \,\, , y(1)=1 $$

3. (3 คะแนน) เลือกทำ 1 ข้อจาก 3 ข้อต่อไปนี้

(3.1) อนุกรม $$ \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \ln(1-\frac{1}{k^2}) $$ ลู่เข้าหรือลู่ออก อธิบายพอสังเขป และถ้าลู่เข้า ให้หาว่าลู่เข้าสู่ค่าใด

(3.2) partition $ 1,2,3,\cdots $ ออกเป็น 2 ส่วน คือลำดับ $ a_n$ และ $ b _n $ โดย $a_n$ เป็น strictly increasing sequence ที่มี 7 รวมอยู่ด้วย (กล่าวคือ $ a_1 = 7 \,\, , a_2=17 \,\, , a_3=27 \cdots a_7=70 \,\, , a_8=71 \cdots $
ส่วน $b_n$ เป็น strictly increasing sequence ของ เลขที่เหลือ กล่าวคือ $ b_1 = 1 \,\, , b_2=2 \,\, , b_3=3 \cdots b_7=8 \,\, , b_8=9 \cdots $ )
ให้เหตุผลว่า $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} $ และ $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{b_n} $ ลู่เข้าหรือลู่ออก

(3.3) กำหนด $ A= 1+1+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots $ พิสูจน์ว่า A เป็นจำนวนอตรรกยะ (โดยห้ามอ้างว่า A= e )

4. (5 คะแนน) ข้อความต่างๆในคำถามนี้ ตัดตอนมาจากหนังสือ letters to a young mathematician ของ Ian Stewart โดย 3 ข้อย่อยแรก ให้หาว่า ชื่อคน หรือชื่อทฤษฎีที่หายไปคืออะไร ส่วน 2 ข้อย่อยสุดท้าย ให้ตอบว่า คำที่พิมพ์ตัวหนา สื่อถึงใครหรือสิ่งใด
(4.1) ...ecological models arose in the 1990s , when the Italian mathematician _______________ was trying to understand a serious effect that had been observed by Adriatic fishermen.
(4.2) The______________ theorem tells us that if two transfinite numbers are less than or equal to each other , then they must actually be equal.
(4.3) In 1998,_____________ announced a computer-assisted proof of the Kepler conjecture that involved hundreds of pages of mathematics…..
(4.4) In applied mathematics , he was a genius. But in pure mathematics , he was a god.
(4.5) We’re adders, and we can only multiply using logs.

5. (9 คะแนน )
(5.1) (2 คะแนน ) อนุกรม $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 2n}\bigg ( \frac{1}{2^n} \bigg) $$ ลู่เข้าหรือลู่ออก อธิบายพอสังเขป และถ้าลู่เข้า ให้หาว่าลู่เข้าสู่ค่าใด
(5.2) (3 คะแนน) พิสูจน์ว่า $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \bigg(1+\frac{1}{2}+\cdots \frac{1}{n} \bigg) $$ ลู่เข้าและหาด้วยว่าลู่เข้าสู่ค่าใด
(5.3) ( 4 คะแนน ) Evaluate $$ \int_0^ {\infty} \bigg( \ln \bigg( \frac{x^2}{x^2+3x+2} \bigg) \bigg) ^2 \,\, dx $$ (HINT : บางขั้นตอน ใช้การดัดแปลงจาก (5.2))

----------------------------------------------------------------------------------

PART 2: Selected years of Australian Maths tournament (photocopied version)

1. $ P $ เป็นจุดหนึ่งบนวงรี และ $ F_1 , F_2 $ เป็นจุดโฟกัสของวงรี และ L เป็นเส้นสัมผัสของวงรีที่ $P$ สมมติ $ X$ เป็นจุดใดๆบน L พิสูจน์ว่า สามเหลี่ยม $ F_1XF_2$ มีเส้นรอบรูปน้อยสุด เมื่อ X ทับกับ P พอดี ( 1 คะแนน)

2.สำหรับ จำนวนนับ $ n \geq 2 $ พิสูจน์ว่า ช่วง $ (2^n+1 ,2^{n+1}-1)$ บรรจุจำนวน
เต็มที่สามารถเขียนได้ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะ n ตัว (ที่ซ้ำกันได้) (2 คะแนน)

3.มดตัวหนึ่งไต่ไปตาม ขอบของลูกบาศก์และจะเลี้ยวที่มุมของลูกบาศก์เท่านั้น ถ้ามดตัวนี้ เลี้ยวที่มุมๆหนึ่ง
25 ครั้ง เป็นไปได้หรือไม่ว่า มดจะเลี้ยวที่มุมอื่นๆของลูกบาศก์ มุมละ 20 ครั้งพอดี ( 3 คะแนน)

4.(สามารถใช้ทฤษฎีเฉพาะมาอ้างได้) พิสูจน์ว่า มีคู่อันดับ (a, b) ของจำนวนนับ เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้
(i) $ \frac{a}{b}$ หรือ $\frac{b}{a} $ เป็นจำนวนนับ
(ii) a ขึ้นต้นด้วย 2551
(iii) b ลงท้ายด้วย 001
(iv) a และ b เขียนได้ในรูป $ m^n$ โดย $m,n$ เป็นจำนวนนับ และ $ n \geq 2 $
( 4 คะแนน )

[Timestopper_STG]

1.(Part1)
$\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{f(x)g'(x)((g(x))^2-1)+f'(x)g(x)((g(x))^2+1)}{(g(x))^2}}dx$
$\displaystyle{=\int_{0}^{1}\left[f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\right]dx+\int_{0}^{1}\left[\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\right]dx}$
$\displaystyle{=\left[f(x)g(x)+\frac{f(x)}{g(x)}\right]_{0}^{1}=2008}$
เห็นโจทย์ละเหงื่อตกเลยนะครับ
ข้อนี้อย่างนี้หรือเปล่าครับ

[passer-by]

ยากไปหรือเนี่ย เลยนิ่งสนิทเลย

คุณ Timestopper พลาดตอนจบไปนิดเดียวครับ รีบๆมาแก้นะ

ส่วน deadline ทุกคำตอบ ผมขยายให้ถึง 10 โมงเช้า วันเสาร์ที่ 1 ธันวาคม แล้วกันครับ

แล้วก็ Hint ของตอนที่ 1 ขอให้ไว้ลอยๆ แบบนี้แล้วกัน...

บางข้อ ใช้ geometric series มาปิดขอบเขตบน

บางข้อ อาจจะต้องพิจารณา partial sum

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

4.(สามารถใช้ทฤษฎีเฉพาะมาอ้างได้) พิสูจน์ว่า มีคู่อันดับ (a, b) ของจำนวนนับ เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้
(i) $ \frac{a}{b}$ หรือ $\frac{b}{a} $ เป็นจำนวนนับ
(ii) a ขึ้นต้นด้วย 2551
(iii) b ลงท้ายด้วย 001
( 4 คะแนน )

จากเงื่อนไขเราสามารถพิจาณากรณีที่ $\frac{a}{b},\frac{b}{a} \in \mathbb{N}\Rightarrow a|b,b|a\Rightarrow a=b$
$\therefore a=b=2551...001$ เห็นได้ชัดว่าเราสามารถเติม$i\in \mathbb{N}$ระหว่าง $2551$และ$001$ ได้เป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้น คู่อันดับ (a,b) มีเป็นจำนวนอนันต์
และตรงตามเงื่อนไข
ปล.พิสูจน์แบบนี้ได้หรือเปล่าครับ

[passer-by]

OH! ผมพลาดจนได้ ที่มองข้าม กรณี a=b ไป

เอาเป็นว่า ผมให้คะแนนคุณ kanakon 2 คะแนน จะว่าอะไรผมมั้ยเนี่ย เพราะตอนแรก solution ที่อยู่ในใจมันเป็นอีกแบบนึง เลยตั้งไว้ 4 คะแนนครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

2. (2 คะแนน) Solve initial-valued problem $$ xy' =y \ln(xy) \,\, , y(1)=1 $$

$$K=xy\Rightarrow y'=\frac{1}{x^2}\left[\,xK'-K \right] $$
$$\therefore x\frac{1}{x^2}\left[\,xK'-K \right]=\frac{K}{x}\ln(K)$$
$$K'-\frac{K}{x}=\frac{K}{x}\ln(K)$$
$$K'=\frac{K}{x}(1+\ln(K))$$
$$\frac{dK}{K(1+\ln(K))}=\frac{dx}{x}$$
$$\int\!\frac{dK}{K(1+\ln(K))}=\int\!\frac{dx}{x}$$
$$\ln(\ln(eK))=\ln(x)+C$$
$$y(1)=1\Rightarrow C=0 $$
$$y=\frac{e^{x-1}}{x} $$

[kanakon]

4.4 ขอเดาว่า Pierre de Fermat
4.5 งูบนเรือของโนอา Source: Math Jokes page

[passer-by]

ข้อที่เป็น ODE กับข้อ 4.5 ถูกแล้วครับ

เท่ากับว่าตอนนี้คุณ kanakon มีคะแนนในตอนที่ 1 ไปแล้ว 3 คะแนน พร้อมกับคะแนนตอนที่ 2 อีก 2 คะแนน

ส่วนข้อ 4.4 ยังไม่ใช่ครับ

ใบ้ให้อีกนิดว่า he ในที่นี้ เกี่ยวข้องกับ telegraph ด้วย

[kanakon]

4.3 Thomas C. Hales
4.1 Vito Volterra
4.4 ผมมีอยู่ในใจอีกคนแต่แต่จะลองตอบ(เป็นครั้งสุดท้าย)ว่า Carl Friedrich Gauss

[Timestopper_STG]

3.1.(Part1)
First, we can easily see that S converges absolutely.
$\displaystyle{S=\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\ln\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\ln\left(\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}\right)}$
$\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{\infty}\ln\left(\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\ln\left(\frac{(2k)(2k+2)}{(2k+1)^2}\right)}$
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\ln\left(\frac{(2k-1)(2k+1)^3}{(2k+2)(2k)^3}\right)=\ln\prod_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(2k-1)(2k+1)^3}{(2k+2)(2k)^3}\right]=\ln P}$
$\displaystyle{P=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}\cdot...\cdot\frac{(2n-1)}{(2n+2)}\right)\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot...\cdot\frac{(2n+1)}{(2n)}\right)^3}$
$\displaystyle{P=\lim_{n\rightarrow\infty}2\frac{(2n+1)^3}{(2n+2)}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot...\cdot\frac{(2n-1)}{(2n)}\right)^4}$
$\displaystyle{P=\lim_{n\rightarrow\infty}2\frac{(2n+1)}{(2n+2)}\left(\frac{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)(2n+1)}{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot...\cdot(2n)(2n)}\right)^2=\frac{8}{\pi^{2}}}$
$\displaystyle{\therefore\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\ln\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=S=\ln P=\ln\frac{8}{\pi^2}}$:
Note that : $\dfrac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot...}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot...}=\dfrac{\pi}{2}$ is Wallis's Product

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

PART 2: Selected years of Australian Maths tournament (photocopied version)
4.(สามารถใช้ทฤษฎีเฉพาะมาอ้างได้) พิสูจน์ว่า มีคู่อันดับ (a, b) ของจำนวนนับ เป็นจำนวนอนันต์ ที่ทำให้
(i) $ \frac{a}{b}$ หรือ $\frac{b}{a} $ เป็นจำนวนนับ
(ii) a ขึ้นต้นด้วย 2551
(iii) b ลงท้ายด้วย 001
( 4 คะแนน )

ถ้าผมจะบอกอย่างนี้ได้หรือป่าวครับ
ในกรณี a > b
ให้ b=2551001
a=2551001......... โดยที่ตัวข้างหลัง 2551001 ของ a เป็น 0 อะครับก็จะเห็นได้ชัดว่ามีคู่อันดับเป็นจำนวนอนันต์
เช่น a = 25510010 b=2551001 ประมาณนี้

[RoSe-JoKer]

PART 2: Selected years of Australian Maths tournament (photocopied version)

1. P เป็นจุดหนึ่งบนวงรี และ F1,F2 เป็นจุดโฟกัสของวงรี และ L เป็นเส้นสัมผัสของวงรีที่ P สมมติ X เป็นจุดใดๆบน L พิสูจน์ว่า สามเหลี่ยม F1XF2 มีเส้นรอบรูปน้อยสุด เมื่อ X ทับกับ P พอดี ( 1 คะแนน)

จากนิยามของวงรีเราจะได้ว่า PF1+PF2= 2a
จากการความยาวของ F1 ไปหา F2 เท่ากัน
ดังนั้นต้องมาพิจาณาด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม XF1F2 อีก 2 ด้าน
พิจารณาสามเหลี่ยมใดๆ 2 รูปที่มีฐานร่วมกันจะได้ว่าด้านที่รวมกัน 2 ด้านของสามเหลี่ยมรูปในจะน้อยกว่าด้านที่เหลือสองด้านของสามเหลี่ยมรูปนอก เสมอ
ดังนั้นถ้าจุด X ไม่ได้อยู่ร่วมกับจุด P จะได้ว่ารูปสามเหลี่ยมรูปนั้นมีความยาวรอบรูปเป็น 2a+F1F2+a โดยที่ a>0
แต่ถ้า X อยู่ร่วมกับ P จะได้ว่าความยาวรอบรูปเป็น 2a+F1F2 ซึ่งยาวน้อยที่สุด

[Timestopper_STG]

ผมว่าข้อ4(Part2)พี่passer-byต้องลืมอะไรอีกแน่เลยครับ4คะแนนทำไมง่ายจัง

[passer-by]

(1) คุณ kanakon

ตอนนี้ ข้อ 4 ตอนที่ 1 ก็ถูกคุณ kanakon จัดการไป 4 ข้อย่อย แบบถูกต้องแล้วนะครับ เหลือแต่ข้อที่เป็นชื่อ ทฤษฎี

สรุปว่า ตอนนี้ คุณ kanakon มี 6 คะแนน จากตอนที่ 1 และ 2 คะแนน จากตอนที่ 2


(2) คุณ timestopper

ข้อ 3.1 ถูกแล้วล่ะครับ แต่โจทย์ให้อธิบายพอสังเขปด้วยว่า ทำไม converge
ที่น้องทำเป็นแค่วิธีทำ เพื่อหาว่าลู่เข้าสู่ค่าไหน แต่ยังไม่ได้พิสูจน์สั้นๆว่า ทำไมลู่เข้า
ดังนั้นตอนนี้ ผมให้ไว้ 2 คะแนนก่อน ส่วนอีก 1 คะแนน จะตามมา ถ้ามาอธิบายสั้นๆได้ว่า ทำไม convergent

ส่วนข้อ 1 ตอนที่ 1 ตอบ 2008 ถูกแล้วครับ

สำหรับข้อ 4 ตอนที่ 2 ผมเพิ่มเงื่อนไขอีกนิดนึง จะได้เข้ากับ 4 คะแนน ดังนั้น ถ้าคนที่ตอบไปแล้ว อยากตอบใหม่สำหรับข้อ 4 version แก้ไข เพื่อให้เปลี่ยนจาก 2 เป็น 4 คะแนน ก็ตามสบายนะครับ หรือจะรักษาสิทธิ์ 2 คะแนนที่ได้ไว้แล้วก็ไม่ว่าอะไร

(3) คุณ Rose-joker

ข้อ 1 ตอนที่ 2 ถ้ามาอธิบายบรรทัดที่บอกว่า

พิจารณาสามเหลี่ยมใดๆ 2 รูปที่มีฐานร่วมกันจะได้ว่าด้านที่รวมกัน 2 ด้านของสามเหลี่ยมรูปในจะน้อยกว่าด้านที่เหลือสองด้านของสามเหลี่ยมรูปนอก เสมอ

ให้กระจ่างได้ ก็จะได้คะแนนเต็มข้อนี้ครับ เพราะเป็นหัวใจสำคัญของการอธิบายข้อนี้

ส่วนข้อ 4 (version ก่อนแก้ไข) ผมให้ 2 คะแนนไว้ก่อนแล้วกันครับ

NOTE: ข้อ 3.1 ยังมีวิธีอื่นอีกนะครับ แต่อาจจะยาวกว่านิดนึง โดยไม่ใช้ Wallis product ส่วนข้อ 3.3 ผมคิดว่า ถ้าใครทำข้อนี้ได้ ก็น่าจะ apply ไปทำข้อที่ มีคนให้พิสูจน์ว่า cos 1 เป็น irrational number ได้นะครับ

[Timestopper_STG]

3.1.(Part1)
สังเกตว่า $\displaystyle{\sum_{k=2}^{\infty}\ln\left(1-\frac{1}{k^2}\right)}$ ลู่เข้าสู่ $-\ln 2$ ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์