ขอความช่วยเหลือข้อสอบพีชคณิตครับ

[bakured]

1. ให้a,b,cเป็นด้านรูปสามเหลี่ยมABC จงแสดงว่า $a^2+b^2+c^2=bc+ca+ab$แล้วสามเหลี่ยมABCเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

2. จงแสดงว่าx+$\frac{1}{x}$=2cosAแล้ว $x^n+\frac{1}{x^n}$=2cosnA

[LightLucifer]

1. $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
2. แก้สมการได้ $x=cosA\pm isinA$

[bakured]

แก้ยังไงอะครับ
คือพอมองออกอยุหน่อยหนึ่งครับแต่ตันแก้ไม่ออกอะครับ
ช่วยพิสูจน์แบบสวยๆให้ดูหน่อยได้ไหมครับ(คือมันเป็นข้อสอบพิสูจน์อะครับ)

[LightLucifer]

$x^2+1=2cosAx$
$x^2-2cosA+1=0$
แล้วใช้สูตรแก้อ่ะครับ ตรงในรูทจะได้ $cos^2A-1=-sin^2A$
หลังจากนั้นก็ใช้จำนวนเชิงซ้อนแก้ต่ออ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

2. จงแสดงว่า $x+\frac{1}{x}=2\cos{A}$ แล้ว $x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos{nA}$

อีกวิธีคือใช้ induction ครับ

$n=1$ จริง

สมมติ $x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos{nA}$ และ $x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}=2\cos{(n-1)A}$

จะได้

$x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}=(x+\frac{1}{x})(x^n+\frac{1}{x^n})-(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})$

$~~~~~~~~~~~~~~=4\cos{A}\cos{nA}-2\cos{(n-1)A}$

$~~~~~~~~~~~~~~=2\cos{(n+1)A}$

[-SIL-]

อีหนึ่งวิธีครับ
กำหนดให้ $x=r(cos\theta+isin\theta)$

[bakured]

ขอบคุณครับ
ขอข้อสามเหลี่ยมด้วยครับ
อยากได้วิธีที่ใช้กฏของโคไซน์อะครับ

[kongp]

คงเป้นพีชคณิตของไทยใช่มั้ยครับเนี่ย ผมเคยเจอพีชคณิตของเมืองนอก เค้าไปไกลกว่าเรามาก

[bakured]

ปลุก(ขุด)กระทู้หน่อยก๊าบบบบบบบ
ช่วยแสดงวิธีโดยใช้กฏโคไซน์หน่อยครับ--*

[Yuranan]

ผมใช้ law of sine อ่ะครับ จาก $$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}=2R$$ จึงได้ว่า $a=2Rsin(A),b=2Rsin(B),c=2Rsin(C)$ แทนลงในโจทย์จะได้ว่า $sin^2(A)+sin^2(B)+sin^2(C)=sin(A)sin(B)+sin(A)sin(C)+sin(B)sin(C)$ เพราะ $R>0$ นั่นคือ $(sin(A)-sin(B))^2+(sin(A)-sin(C))^2+(sin(B)-sin(C))^2=0$ จึงได้ $sin(A)=sin(B)=sin(C)$ และจาก $A+B+C=180^o$ จึงได้ว่า $A=B=C=60^o$ ครับ