โจทย์ครับ(พี่nongtum พี่gonและท่านอื่นๆช่วยด้วยครับ)

[Nickname]

1.เมื่อฉันมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของพ่อ ลูกชายของฉันก็จะมีอายุมากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี ส่วนปัจจุบัน ผลรวมของอายุพวกเราทั้ง 3 คนเท่ากับ100ปีพอดี จงบอกอายุปัจจุบันของฉัน


2.ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 4 คนอายุแตกต่างกันในช่วง 2-16ปี เมื่อปีที่แล้ว ผลบวกกำลังสองของอายุน้อง3คนเท่ากับกำลังสองของอายุพี่คนโต แต่ปีหน้าผลบวกกำลังสองของอายุพี่คนโตกับอายุน้องคนเล็กจะเท่ากับผลบวกกำลังสองของอายุน้องสองคนกลาง จงหาอายุของแต่ละคน

3.จงหาคำตอบของสมการ$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )=6x+8\sqrt{1-x^2}$

4.จงหารากที่สองของ $1-x+\sqrt{22x-15-8x^2} $



ผมเครียดนะครับโปรดช่วยผมด้วย ขอบคุณครับ

[t.B.]

ข้อ1
สมมติ
ปัจจุบัน ฉันอายุ x ปี พ่ออายุ y ปี ลูกอายุ z ปี
จากโจทย์อนาคต ฉันจะอายุ y ปี และลูกอายุ x+7 ปี (มากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี)
ให้เวลาที่เปลี่ยนจากปัจจุบันถึงอนาคตเท่ากับ k ปี
ดังนั้น
y-x=k --(1)
(x+7)-z=k --(2)
(1)=(2) ; y-x = x+7-z
2x+7=y+z --(*)
แต่จากโจทย์บอก $x+y+z=100 \rightarrow y+z=100-x$ แทนไปในสมการ(*) แก้ได้ $x=31$

ข้อ4ละกัน
รากที่สองของ $1-x+\sqrt{22x-15-8x^2} $
คือ $\pm \sqrt{1-x+\sqrt{22x-15-8x^2}} $
$= \pm \sqrt{\frac{2-2x+2\sqrt{22x-15-8x^2}}{2} } $
$= \pm \sqrt{\frac{(-4x+5)+(2x-3)+2\sqrt{(-4x+5)(2x-3)}}{2} } $
$= \pm \sqrt{\frac{(\sqrt{-4x+5} +\sqrt{2x-3} )^2}{2} } $
$= \pm \frac{\sqrt{-4x+5} +\sqrt{2x-3}}{\sqrt{2} } $

ปล.เครียดมากแก่เร็วนะครับ
ปล2.มันจะ 0 ปียังไงหรอครับแสดงให้ดูหน่อย

[Nickname]

ข้อนี้ตอนแรกผมก็คิดได้เหมือนคุณt.B.ครับถ้าถูกนั่นหมายความว่าอนาคตอีก0ปีสิครับหรือปัจจุบันนั่นเอง
คุณt.B. พี่nongtum พี่gonและท่านอื่นๆช่วยผมคิดข้อที่เหลือหน่อยนะครับ

ขอบคุณมากครับ

[Lekkoksung]

ข้อ 3
$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )=6x+8\sqrt{1-x^2}$
แนวคิด
$$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )=6x+8\sqrt{1-x^2}$$
$$25(2+2\sqrt{1-x^{2}})=36x^{2}+96x\sqrt{1-x^{2}}+64(1-x^{2})$$
$$50+50\sqrt{1-x^{2}}=36x^{2}+96x\sqrt{1-x^{2}}+64-64x^{2}$$
$$28x^{2}=96x\sqrt{1-x^{2}}-50\sqrt{1-x^{2}}+14$$
ให้ $u=\sqrt{1-x^{2}}$ แล้วยังไงต่อครับ

[V.Rattanapon]

ข้อ 3. \[
x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{2}{3}\arccos \frac{3}{5}} \right),\frac{{24}}{{25}}
\]

ข้อ 4. \[
\pm \left( {\frac{{\sqrt {5 - 4x} + \sqrt {2x - 3} }}{{\sqrt 2 }}} \right)
\]

[V.Rattanapon]

ข้อ 2. อายุของแต่ละคนคือ 3 7 10 12

[Lekkoksung]

คุณ V.Rattanapon ครับ ข้อ 3 เมื่อแทน $x$ ด้วย $\frac{24}{25}$ แล้วสมการไม่เป็นจริงอ่ะครับ
แล้วอีกอย่างช่วยแสดงวิธีการได้มาซึ่งคำตอบอีกคำตอบนึงของข้อ 3 ด้วยได้มั้ยครับ

[Lekkoksung]

หลังจากที่ใช้เวลานอนมา ก็มีแนวความคิดสำหรับข้อ 3 ในฝันที่ฝันถึงคือ
$$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )=6x+8\sqrt{1-x^2}$$
เราพิจารณา $\sqrt{1-x}$ จะเห็นว่า $x \in (-\infty ,1]$ และ $\sqrt{1+x}$ จะเห็นว่า $x \in [-1, \infty)$ ดังนั้นเราเลือกค่า $x=-1,1$ ตรวจสอบในสมการ ซึ่งแสดงว่าไม่มีค่า $x$ ใดที่ทำให้สมการเป็นจริง

ถูกผิดยังไงผู้รู้ก็มาตอบให้หน่อยน่ะครับ มีคนอีกหลายคนที่ไม่รู้ว่ามันถูกหรือผิดยังสงสัยอยู่

คิดๆไป คุณ V.Rattanapon ก็คิดถูกน่ะ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

คุณ V.Rattanapon ครับ ข้อ 3 เมื่อแทน $x$ ด้วย $\frac{24}{25}$ แล้วสมการไม่เป็นจริงอ่ะครับ
แล้วอีกอย่างช่วยแสดงวิธีการได้มาซึ่งคำตอบอีกคำตอบนึงของข้อ 3 ด้วยได้มั้ยครับ

แทนค่า \[
x = \frac{{24}}{{25}}
\]
จะได้
\[
L.H.S. = 5\left( {\sqrt {1 - \frac{{24}}{{25}}} + \sqrt {1 + \frac{{24}}{{25}}} } \right) = 5\left( {\sqrt {\frac{1}{{25}}} + \sqrt {\frac{{49}}{{25}}} } \right) = 5\left( {\frac{8}{5}} \right) = 8
\]
\[
R.H.S. = 6\left( {\frac{{24}}{{25}}} \right) + 8\sqrt {1 - \left( {\frac{{24}}{{25}}} \right)^2 } = 6\left( {\frac{{24}}{{25}}} \right) + 8\sqrt {\left( {\frac{{25}}{{25}}} \right)^2 - \left( {\frac{{24}}{{25}}} \right)^2 } = 6\left( {\frac{{24}}{{25}}} \right) + \frac{8}{{25}}\sqrt {\left( {25 - 24} \right)\left( {25 + 24} \right)} = 6\left( {\frac{{24}}{{25}}} \right) + \frac{8}{{25}}\left( 7 \right) = 8
\]
ซึ่ง
\[
L.H.S. = R.H.S.
\]
ดังนั้น \[
x = \frac{{24}}{{25}}
\] เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ

ปล. มันก็เท่านิ หรือผมคิดเลขผิด

[Lekkoksung]

กว่าจะได้มาซึ่ง $\frac{24}{25}$ มายังไงครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

หลังจากที่ใช้เวลานอนมา ก็มีแนวความคิดสำหรับข้อ 3 ในฝันที่ฝันถึงคือ
$$5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} )=6x+8\sqrt{1-x^2}$$
เราพิจารณา $\sqrt{1-x}$ จะเห็นว่า $x \in (-\infty ,1]$ และ $\sqrt{1+x}$ จะเห็นว่า $x \in [-1, \infty)$ ดังนั้นเราเลือกค่า $x=-1,1$ ตรวจสอบในสมการ ซึ่งแสดงว่าไม่มีค่า $x$ ใดที่ทำให้สมการเป็นจริง

ถูกผิดยังไงผู้รู้ก็มาตอบให้หน่อยน่ะครับ มีคนอีกหลายคนที่ไม่รู้ว่ามันถูกหรือผิดยังสงสัยอยู่

คิดๆไป คุณ V.Rattanapon ก็คิดถูกน่ะ

ค่า x ที่จะเลือกแทนไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มนะครับ เพียงแต่ต้องอยู่ในขอบเขต\[
x \in \left[ { - 1,1} \right]
\]

[Lekkoksung]

โอเคครับ เข้าใจล่ะ
คำถามสุดท้ายคือ อยากรู้วิธีการได้มาซึ่งคำตอบน่ะครับ วิธีคิด วิธีทำ หรือแนวคิดน่ะครับ
คำถามสุดท้ายจริงๆ

[V.Rattanapon]

ข้อ 3. จงหาคำตอบของสมการ \[
5\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right) = 6x + 8\sqrt {1 - x^2 }
\]
จาก \[
\sqrt {1 - x} ,\sqrt {1 + x}
\] และ \[
\sqrt {1 - x^2 }
\] จะได้ว่า \[
x \in \left[ { - 1,1} \right]
\]
ให้ \[
x = \cos \alpha
\] จะได้ว่า \[
\alpha \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]
แทนค่าลงในสมการจะได้ \[
5\left( {\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } } \right) = 6\cos \alpha + 8\sqrt {1 - \cos ^2 \alpha }
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = \frac{{6\cos \alpha + 8\sin \alpha }}{5}
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\left( {\frac{3}{5}\cos \alpha + \frac{4}{5}\sin \alpha } \right)
\]
ให้ \[
\cos \beta = \frac{3}{5}
\] จะได้ว่า \[
\beta \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]
แทนค่าลงในสมการ จะได้ \[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right)
\]
\[
\sqrt {1 - \cos \alpha } + \sqrt {1 + \cos \alpha } = 2\cos \left( {\alpha - \beta } \right)
\]
\[
1 - \cos \alpha + 2\sqrt {1 - \cos ^2 \alpha } + 1 + \cos \alpha = 4\cos ^2 \left( {\alpha - \beta } \right)
\]
\[
\sin \alpha = 2\cos ^2 \left( {\alpha - \beta } \right) - 1
\]
\[
\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \left( {2\left( {\alpha - \beta } \right)} \right)
\]
เนื่องจาก \[
\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]
\]และ\[
\left( {2\left( {\alpha - \beta } \right)} \right) \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]
\]
จะได้ \[
\frac{\pi }{2} - \alpha = 2\left( {\alpha - \beta } \right)
\]
หรือ\[
\frac{\pi }{2} - \alpha = - 2\left( {\alpha - \beta } \right)
\]
จะได้ \[
\alpha = \frac{\pi }{6} + \frac{{2\beta }}{3},2\beta - \frac{\pi }{2}
\]
\[
x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\beta }}{3}} \right),\cos \left( {2\beta - \frac{\pi }{2}} \right)
\]
ดังนั้น \[
x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{2}{3}\arccos \frac{3}{5}} \right),\frac{{24}}{{25}}
\]

ปล. โจทย์สนุกดีครับ

[Nickname]

ขอบคุณพี่ๆมากเลยครับ แต่กรุณาขอวิธีคิด ข้อ2และ3หน่อยนะครับจะดีมากเลยแหละครับ

ข้อ1หากลองสร้างเป็นตารางและหาผลรวมของอายุในอนาคตและปัจจุบันจะได้ว่าอนาคตอีก0ปีครับ

[V.Rattanapon]

ข้อ 2. ให้ w, x, y และ z เป็น อายุของพี่น้องทั้ง 4 คน จากน้อยไปหามากตามลำดับ
จากโจทย์จะได้ว่า \[
\left( {w - 1} \right)^2 + \left( {x - 1} \right)^2 + \left( {y - 1} \right)^2 = \left( {z - 1} \right)^2
\]
และ \[
\left( {z + 1} \right)^2 + \left( {w + 1} \right)^2 = \left( {x + 1} \right)^2 + \left( {y + 1} \right)^2
\]
และก็แก้สมการหาคำตอบ