probability

[t.B.]

กล่องใบหนึ่งบรรจุบัตร 9 ใบ หมายเลข 1,2,3,...,9 อย่างละ 1 ใบ สุ่มหยิบทีละ 1 ใบ ทั้งหมด n ครั้ง โดยใส่คืนก่อนหยิบครั้งต่อไป และบัตรแต่ละใบมีโอกาสถูกหยิบเท่าๆกัน ความน่าจะเป็นที่ผลคูณของ n จำนวนที่ปรากฏบนบัตรที่สุ่มได้ จะหารด้วย 10 ลงตัวเท่ากับเท่าใด
ก. $1-(\frac{8}{9} )^n-(\frac{5}{9} )^n-(\frac{4}{9} )^n$
ข. $1-(\frac{8}{9} )^n-(\frac{5}{9} )^n+(\frac{4}{9} )^n$
ค. $1-(\frac{8}{9} )^n+(\frac{5}{9} )^n-(\frac{4}{9} )^n$
ง. $1+(\frac{8}{9} )^n-(\frac{5}{9} )^n-(\frac{4}{9} )^n$
เฉลยตอบข้อ ข. ครับ อยากทราบว่าคิดอย่างไร

[passer-by]

วิธีคิดคือ ลองหักกรณีที่ผลคูณ หารด้วย 10 ไม่ลงตัวออกครับ

กรณีที่ 1 คือ สุ่มหยิบแล้วไม่มีเลข 5 เลยจะได้ความน่าจะเป็น $ (\frac{8}{9})^n $

กรณีที่ 2 คือ สุ่มหยิบแล้วมี เลข 5 อย่างน้อย 1 ตัว แต่ที่เหลือมีแต่เลขคี่ 1, 3,7, 9 อย่างน้อย 1 ตัว

จะได้ความน่าจะเป็น $$ \binom{n}{1}(\frac{1}{9})^1(\frac{4}{9})^{n-1}+ \binom{n}{2}(\frac{1}{9})^2(\frac{4}{9})^{n-2}+\cdots \binom{n}{n}(\frac{1}{9})^n(\frac{4}{9})^{0}$$

โดย Binomial theorem จะได้ว่าผลรวมบรรทัดก่อนเท่ากับ $ (\frac{5}{9})^n - (\frac{4}{9})^n $

[t.B.]

ขอบคุณครับสำหรับแนวคิด แต่กรณียังไม่หมดแค่นี้ใช่มั้ยครับ

[M@gpie]

เสริมให้ครับ
\[ \begin{array}{ccl} P\{ \text{หารด้วย 10 ลงตัว} \} &=& 1- P\{ \text{ หารด้วย 10 ไม่ลงตัว } \}
\\ &=& 1-(P\{ \text{ 2 หารไม่ลงตัว} + P\{ \text{5 หารไม่ลงตัว}\}
- P\{ \text{2 และ 5 หารไม่ลงตัว }\}\})\}
\\ &=& 1- \left( \left(\frac{8}{9}\right)^n + \left(\frac{5}{9}\right)^n-\left(\frac{4}{9}\right)^n \right) \end{array}\]

[t.B.]

$P({หาร2และ5ไม่ลง})$ หายังไงถึงได้ $(\frac{4}{9} )^n$ อะครับ

[M@gpie]

1,2,3,4,5,6,7,8,9 ตัดเลข 2,4,5,6,8 ออกไปไงครับผม

[t.B.]

อ่อ --* ขอบคุณครับ

[bell18]

โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบของสมาคมคณิตศาสตร์ปี 2539 ตอบเช่นเดียวกับคุณ M@gpie ครับ