analytic complex domain function

[milch]

Let $f$ be analytic on $\mathbb{C}$ and $\left|f(z)\right|=\left|\sin z\right|$ for all $z$ in $\mathbb{C}$.
Prove that $f(z)=c\sin z$ for some $c\in\mathbb{C}$ with $\left|c\right|=1$.

ช่วยทีครับ

[nooonuii]

1. Show that $f(z)=0$ iff $\sin{z}=0$.

2. Show that $\dfrac{f(z)}{\sin{z}}$ is analytic.

3. Apply Liouville's Theorem.

[milch]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. Show that $f(z)=0$ iff $\sin{z}=0$.

2. Show that $\dfrac{f(z)}{\sin{z}}$ is analytic.

3. Apply Liouville's Theorem.

คงคิดคล้ายๆ กัน แต่ผมไม่รู้จัก Liouville's Theorem.
แต่ผมเคลมแล้วว่า If $f$ and $|f|$ are analytic, then $f$ is constant.

ตอนนี้ผมติดที่ข้อ2 Show that $\dfrac{f(z)}{\sin{z}}$ is analytic.

[nooonuii]

Let $g(z)=\dfrac{f(z)}{\sin{z}}$. $g$ is analytic at every point except at the points $z=n\pi,n\in\mathbb{Z}$. Wlog assume $z=0$. Since $f(0)=0$ but $f'(0)\neq 0$ (why?) we may define $f(z)=zh(z)$ where $h(z)$ is analytic and $h(0)\neq 0$. Similarly, $\sin{z}=zk(z)$ for some analytic function $k(z)$ where $k(0)\neq 0$. Can we say that $g(z)$ is analytic at $0$?

[MYSTICA]

Alternatively, let D = C\{n$\pi$, n $\in$ Z}. Then D is a domain (it's open and connected).

Also, f(z)/sin(z) is analytic on D (the quotient of analytic functions is analytic at the points where the denominator is nonzero), and |f(z)/sin(z)| = 1 is constant on D. Then f(z)/sin(z) is constant on D.
[Exercise: if F(z) is analytic on a domain D and |F(z)| is constant on D, then F(z) is constant on D.]

Then the result follows.

[kongp]

บางทีอ่านหนังสือแม็ทก็ทำได้แค่เขียนโปรแกรมจำลองให้ใกล้เคียง หากเรียนวิศวกรรมค่าต่างๆ จะมีตารางข้อมูลมาให้ชัดเจน ดีแต่แพงสำหรับผม
เห็นที่เค้าโชว์ตามหนังสือภาพสีสันสวยงาม สะดุดตา ไม่รู้เค้าดูถึงองค์ประกอบทางเคมีด้วยไหม รู้สึกว่าเค้าวิเคราะห์เรื่องเสียงในวารสารฉบับนั้น