โจทย์ทฤษฎีจำนวน 5 ข้อครับ...คิดไม่ได้ครับ

[HIGG BOZON]

1. จงหาผลบวกของเลขโดดทั้งหมดของ $4,444^{4,444}$
2. จงหาเลขโดดสามหลักสุดท้ายของ $4,444^{4,444}$
3. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $4,444^{4,444}$ ด้วย $9$
4. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5$ ด้วย $4$
5. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{10}}$ ด้วย $7$

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

1. จงหาผลบวกของเลขโดดทั้งหมดของ $4,444^{4,444}$
2. จงหาเลขโดดสามหลักสุดท้ายของ $4,444^{4,444}$
3. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $4,444^{4,444}$ ด้วย $9$
4. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5$ ด้วย $4$
5. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{10}}$ ด้วย $7$

3. $4444 ^{4444}\equiv 7^{4444}\equiv (-2)^{4444}(mod 9)$
$\Rightarrow$ $(-2)^6\equiv 1(mod 9)$
$(-2)^{4440}\equiv 1(mod 9)$
$(-2)^{4444}\equiv 7(mod 9)$
$4444 ^{4444}\equiv 7^{4444}\equiv (-2)^{4444}\equiv 7(mod 9)$
เศษ=7 ครับ หากผิดตรงไหนบอกด้วยครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

1. จงหาผลบวกของเลขโดดทั้งหมดของ $4,444^{4,444}$
2. จงหาเลขโดดสามหลักสุดท้ายของ $4,444^{4,444}$
3. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $4,444^{4,444}$ ด้วย $9$
4. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5$ ด้วย $4$
5. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{10}}$ ด้วย $7$

4.จะเห็นว่า $a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) $ โดยที่ $a+b=100$
ดังนั้น $a^5+b^5$ หารด้วย 4 ลงตัว
$1^5+99^5\equiv 0(mod 4)$
$2^5+98^5\equiv 0(mod 4)$
.........
$49^5+51^5\equiv 0(mod 4)$
จะได้ว่า $1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5\equiv 50^5+100^5\equiv 0(mod 4)$
จบ......

[littledragon]

HINT ข้อ 2

$ข้อ 2. 4444^{4444}=(4440+4)^{4444}$ จากนั้นก็.....

[square1zoa]

5. เนื่องจาก $(7,10)=1$ ก็สามารถใช้ทบ.ออยเลอร์ได้

ผมอยากเห็นเฉลยข้อ 1 มากครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

ผมอยากเห็นเฉลยข้อ 1 มากครับ

เหมือนกันครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

5. จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{10}}$ ด้วย $7$

จาก $10^3\equiv -1 (mod7)$
ดังนั้น

$10^9\equiv 10^{99}\equiv 10^{999}\equiv ...\equiv 10^{999999999} \equiv -1 (mod7)$

$10^{10}\equiv 10^{10^{2}}\equiv 10^{10^{3}}\equiv ...\equiv 10^{10^{10}} \equiv -10\equiv -3 (mod7)$

ดังนั้น $ 10^{10}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{10}} \equiv -3(10) \equiv -30 \equiv -2\equiv 5 (mod7) $

ตอบ เศษ 5 ครับ

[หยินหยาง]

ข้อ 1 มีคนเคยถามหลายครั้งแล้วครับ ลองดูที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4110

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 1 มีคนเคยถามหลายครั้งแล้วครับ ลองดูที่นี่ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4110

ผมเห็นหลายคำตอบ สรุปคำตอบไหนถูก และขอวิธีทำเต็มด้วยจะดีมากครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ littledragon

ผมเห็นหลายคำตอบ สรุปคำตอบไหนถูก และขอวิธีทำเต็มด้วยจะดีมากครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

ความจริงก็เห็นชัดอยู่แล้วว่าคำตอบของใครถูก คำตอบคือ 72601 ตามที่คุณ Anonymous314 หาไว้ให้ครับ ส่วนวิธีการหาต้องถามท่านก้าแล้วละครับ
แต่ถ้ามีความอดทนก็ลองบวกผลลัพธ์นี้ดูครับ
5103632503725508048204025019552439592478247548228451474782897598673947\
9076862531615833001864027197875434172496782212810360936998814871028023\
2804095176042897042329972500598176514520339025649810534743421439824344\
7701005507790297138587957809702679504701392721044806973761259973536289\
4194645352399692361078824902286318374845566910211826792995098340076750\
2612752073805646967575082588661094924890080270547456803873740320864945\
5941287069612970906554369158633482513543989639315894758112711565503724\
7166912914512319390738590640498634195625879446208894955914635034539916\
3827981962134779340382384424895186433898193227638372316389954348767368\
1661977013844612139071388852279153694690363445963220228368583217271684\
2435855510281455739906068471774207538472233042602654906987502020125355\
9851749050732300210033321704691402472372447910601511792767068874041730\
0368305571106156581046257613061674985679978100211035684364035338969751\
6105223217210103014498528306981517615490248684606667345224474348209121\
6912730063111317518949438036825849350857407802947251358813009101396855\
0067865066423465550326356536940993076504223034433292260836816038877878\
8884646783931717914556412663681132017810017876756080237495986180628149\
7780756306816835911623269344815828675172705658793858315088321790852028\
6979791362343939136178910953408397333386866737398331798263857283669458\
8790263878531057321976457926706035794868607608000143128674258835749966\
1107136488075501646420101952623981839372582842264518761810504053478242\
6323141848979708953060596287301829837790473292440924527347232770972589\
4372282581058105524768663834139458191519630744589334410903481777861176\
8891723897294599389140932783799232490775053690971428944005042922049728\
4753545129412186948752272827442038083294440960887558282886782895419734\
5766989736271752262574052524120907677713841267414723824130389733862221\
8394617011041931366121183636461823437803675339247985523143454406394165\
3293576691036532647606400106265043997898601261398783695344682332828901\
8854743984831229989513368552344528366528946668277450956579664476698698\
8850706085288689081114469902960360827072954224374982101260182453171869\
4047202591913191025398987692057581412425687165963932022122407738557835\
2633571849429475276431189292090749302555041209922023332951651543444331\
2992267635354329047072634760437877199837457487174805736679544952463119\
1662492194389020239551818543132076798858084794777691532546464429919501\
3041220210205633708318303125892843920543505189879552980904823153381789\
6823219670752535437452928518580943424138045022831863716025460572384581\
1704354441805738412094353258015530140305864355247449318034239923570485\
5733869062287425023484735796769739544602182545742884488193642040911298\
4246951093081871735950236727834928092629687980873589594340388374300126\
2513159113365921796782361134740595852452676107593385648640641849805123\
2221083011321212500132046393237242013712920493373344264333908560825994\
5577246452848782027101886444716178563133087164245056178005075115377792\
8150071183012090591066092125348299394395500838029542252959753051729527\
2711434751373008436807762561135017027186247688032009272581704436132546\
1551347214738808250791771609552237806772196784335027297002780744019261\
8283025460339951382999314292985738840337497077276087416939470986856451\
1659882097055434991242192905557305121043626131448358657169258733625263\
7815898825969805510445017396355597775541804147674086257272633979382353\
9261184650692343054743563963265371575979816329935359845050265998005384\
7341549979536485533374417981344585777831913637495528436408273284344143\
2518607949946230023642757883578981745869338098035299951996695497889736\
5332330995253282380328954996597462400072283209378551498092465251648251\
5851200807081969699906466651892169655557373657152851157852684704918682\
0114774891560697237812276661684208813207350234752339089687203101908257\
3658621323903724322004865757880536094401644078100662660882874316130371\
2574375577649933225532651050545140041874017741023508427656767689065668\
1304017690271519446494296113565086224196364978436168397333788735684231\
2535977187360683520542279273172775756099485150222373273447470604030984\
3864498501849591435827118166412237796262100139892025690084293327010312\
2576451976635459512706077743918298807282211060933129032411966150842234\
0674734751135560691125077684684750481868795337814956399921113519226758\
8652390035544532377329198071915314030957493059007692692874887653124427\
1081769275643111142941623523279081264016186899868415238720908723027348\
0151388668919312581666051199165800486441853595318943507204578445537932\
8488152720292135875359370818523073632235999955560096920959353029918712\
6504805035790081699626420531122823872065111691507399768235772890863694\
4116699525636782792343783541912322309504037884631625134501622894928984\
6720433174619937560455378596315532968385243164693560657516484944148695\
9653244888497100572932455944930541441253013836187931543254385534563950\
2949482217785902089721535098259284427404635331809160561496511820089880\
4114383826069406964847820436615643622261068438963617832290603017594755\
7539505372022873617984243951027613256287405114934001081712127187090053\
8251197889890806112689893305888021955543957697473838211321643734213536\
2672263231535922196636242632966267617797782349620766549519091205877407\
0030461240065003092220340537343718570855540620048409268326524679210802\
0875074340363564691479018798533498495287512351177800185710306124538624\
9082763461716843192378489618317944998120036331318092652006012655130682\
3724759872913624667794910363924066520114341259083001722010754593014139\
6706406379312681280708386422117719450505613665258084474495255089381662\
6476519936322862192707218970681132239377168147183801211896926748464951\
7695974509985518680707186357118066669155799100701988974256529993495874\
6240453163112046422973837930092020111165780496459962995272470154232339\
1985340968672860060669633034275225674155618588182641024574391062865746\
5890175496712102421356923202769091923564490011404293324240101687047282\
3232021092971693772467674980038137617059600306942677185824529032560790\
1081526368109316668763096997126363181245813507244280366466648932281278\
1263737853950436017864327637090307020502401338289863908803852739869295\
6972045807251709679502730547108593866880765469894801562257354604681818\
3483574210076476424314126971168689392674121509101918246504955993884315\
2092820013017190219663210133959764969916921424252235350879175655965074\
3592499115866749752816161713263445978738445945062241172330248066415406\
5560531934085200935012479292867804537504330578796940153305865857778470\
2110058820873040111219035169570991761675921177894889468530130455273751\
2486706568604303842632285781336680301578629414563224800133745968848369\
1257344667756808810763951697589291515089178471233746391308443723682518\
2799793377183593090606026936903305601212742547010586743480914239324734\
7139809050284303855233598544330321844412827316844546154452587584730154\
9067496633454966410289829207039237131199496320982864323114758277687079\
5894821273070188389094730863614701744251556054160986107930826106668826\
5774188255309318804848617643450161495549550819622829958383583967550253\
2332523762696463804129678278859082482642272742222097523888921494943635\
7536590833400544062372456752825016324331669108191400048356726646262546\
5694510019817760972676179393874499876413225560983684128123190188925572\
0627632431524563414335794855387940638983921578668572820626365369332486\
2987106638383527863261567494687265838171267738381407758668688547504101\
6455346246966010947424390327216541945623743108518544899586638918932868\
4026079146101209558854111512784423513653846049421844315706794473017508\
7192993312624427747802156041642149357816808008121130548550397396955358\
8968922298314517655337893181347680818018179774617512736265726317285853\
2527445330795453630817313353805947445272602272859755128165350245699909\
2827908123501423897395320016652641061452034943150607140775723776511461\
1578731230702251206444934024143706471442881146162766129614838362421724\
5891852900460888364100406842157821779342842799355931512314718480199341\
2849898061920642450137318029403201693149214650989964396075678270912992\
4388627683238297554375807096311778949062465846167758183047054719858165\
2714163917981803161039869381247440996205213843179071365997185244849515\
7093244659935800398255887793764038261962953767339809180347601865943278\
6896430016307207099366760813719843974589462283096467057735706814098791\
3016472869332701745194728354414343987240775197183872184550997575711793\
2837652483456967985441877513426120450808526283220211679771319126130386\
2500811984940542984669420488718317223624286228833679094771214906190122\
0691463054655089364006898766280700111034085106069195942699996386257700\
0562601749252379789023616287381839897372665367276565901864300864341040\
6689955598497043062669911339342775938753574968256548576873344197688401\
2572940596856108887084493032729826238476610059812287841531681857742998\
6646232585929190348500347562015588927754319889555459405117171589505549\
5486034595904571029634647547706308688813658431163710054789832041512428\
4265050681611051509889545401120651624439122149764963968586574661359990\
4551431103519132165219232384299800607864707270818169749696624103554887\
5930875115568893160317567583836193538432689661991040144993512953812281\
7672871284002069273657674924148759715545901520947799114857656365404517\
3182167157523650652433679807488706825534249579941824724777137214284123\
4850010132319343743177056148129377153581570970068560101898874969988379\
6533380321551925970404211930703722814870147383043024350899076127839345\
0558718187049150070227746230795835272945695192813801661478856551200048\
0852367431082772590887435500254665714845790505371032347103281992340947\
5939303215234009696145468912877845444157428705725324269845118873307464\
7504327021223633957084028138092669544451764169540506803906344042107216\
6927014811035974591317906062301218379603424144217986461663769539858127\
8100443251513690190181608320197277957618618586103065843536903624585752\
7211230728574844070018846957631041418522777879723315780076759745475345\
7305195167590628776623200907747700954629944611426614847085390898512300\
9587555416972420221903757359950808721119718945202840731462726074950456\
7266073693108004555234317743504422137640163870772763593970167959223237\
2522290175715339301100206091002962644063617623963195067508944029487840\
1209867584496575479711689428392243002505742111285596689605354395073160\
7651011866692007348422126839053586704290994562432622532070061941355285\
5083144377469784027072976576386540170496552659015472634499232030937069\
6654772892880071351360611510079210660932423971138399311431421606107840\
2772993082736816507061936850312048734156261238717880978316149648375907\
5082301496489952035629970455932327586781802788012717848697162182627830\
3747456446269574866139129639109358738377276422155594326438226169115877\
7104364156452419873048288701160284996396716219944328507927922657350195\
9999356692388474740216298441483726547464542235626600231978042478014784\
0969885140237391862816439274529266133603892293872737639942238386916549\
5050566220830834159286046052076590786239225475396431376074744643198686\
8277410804603663133256033132730071780586238783837716263761772138129741\
8828788660000781831056361132773258934511662510049881698861900002425638\
3220340839395179940434782277287242958189454148341217146381461618784580\
1924903123237107741406040246842237193714971568122227539811648001031471\
3558625215596616468213210374517443850091715843079931522392153420229680\
0481073662369062951978769021562346999323490273192769161860583298915734\
1431393042813955560791918519019238902605675492997930285395870288680977\
3264745270796960183896245081350167326097763616039648753718725043830604\
1945734156865566009048704742810977702327159936127934529837514960485494\
6202403703084450846170771607258039997134962127005273713783365810507564\
3155272907595634443397421469710649589262478442474566724655969237120567\
8451734184877625294404702298266953512723512941872786749577075025796701\
1376208848602892778419937045634787869136443316277774478687092103110651\
8425844847931802318562143332162520586346376456214070002688736307063902\
6385591487627888853431589561517971601072296615357332364869067624440673\
5747470099768910179816182142859964904775200881501151425284440181639042\
4939585076205770589130004893645483641205584855883437744219703265734558\
5148912673670805662671772888568059299985422561708608994946215088963642\
6200989466034751229525756485682489086338243428951595411943509645726463\
4163644236916357390300378249516703332441368795061603944615807261982939\
5051690995490734031881972211526375515977979518996838024499924097214289\
7518333457824266606351798934077998883147225494638604754278024502365886\
0765336496396822462566380797706697056663267407242235449458534274651549\
5790387434539150602776988858229735655861557651674001429316812089608995\
2037174656026382973358300262060832877640871815897409791275586730161667\
3172872759418076664771180865159631798289178303532975347895035244536490\
0258981354689637345009355694575120184749888060723243863910610951936173\
0056320634907342162013172884291365790324640357168395342520405087856734\
8050563090389404172621103208845718114249781810625452672558925511250819\
3607195952216720078622819848964449632543441237874978490243071729405207\
3314957331307555765992581766451844136526190334758453202757231330916618\
8768274469438897797394969560355643211282919298080817690302382931052348\
2069263212389044541984581188822108448228213632503571603910359074097110\
1685775359175446845768867808832148246173120044543076836904691359166476\
7360089561928710085247927451471873596148752021313132678954452831023222\
9886446940239335471584592729589642953983761157999108194176478289696774\
5403273336053672368321423917080120754065791739576707952073470653933631\
7218188133109617778494291033280332817298844009428762531379612090145665\
0386815103319170442536811615087008471193339589052960764990223566273656\
2801067772641434019705693560288404052996071425661514531840463429712790\
7604465376429821155871081078665860527464878174828520506755881803641306\
4385565389295421419582768240407481031361312110436918750231670752788226\
1434373379614719087316903220505726066034405106767042979199276865212191\
3012521895059954551934047574800474904940010386563480489601958856487597\
7480355362666488537426169612479343124652577459197358631901575315854308\
3413128039807232021296643838272617597131147312753774597521382904433235\
0770984210525299185708953351516865858946612926840982398173154295235614\
3715863169688684913604967008122125957014394902104854731394513987381653\
6128256498995451367043562992336123776631389496266747640038121216579773\
0667874517027687375116051403282191571642956851650744922280646722074409\
8345865934092334150222867621594593283472228995592427862197795799308830\
0919372049150798899715148855574967095736037770514950318507771518066544\
4890518474846889711571541722584536374641569673356220830218907187400703\
6618207107441597951454303526060155866158129219539869907497123714993226\
3786546917190571340949780643716900407334439036184250199857057622900599\
3048420239096466308003448561017891340796167476073409143310036770948357\
4035959297288718095337136368853910346479535635064107715495986697706074\
1861235448649304829825794832488709285428039999689057530814124809100868\
4366391354350674635484268923258256874102915532038525363411814408562397\
5982902849482641973056070315275371497866114231331181371665920481113272\
3752120381921329682219071138446323416019328128403824349943393420598407\
5209327378314363350734284703872432542440047773545621263050059236121609\
6449533848430661580040552681311951624165973824987982212825869514438276\
5546688801174323063117490166832735883314935676447302263184451587052279\
4824314237233941605095215812377218718826428420878793242691427557719645\
2576564717230558129225037466239010614366768161042902904119560415654472\
2453982341533784371890720831497635846313011365446929033630549740941617\
4328035261292190893517872125591526291255132402239597336963894075033663\
4740014776669442641539386607106732040986806691541249305380199302700473\
0610473655225898627696582464742965540655539147325906404433102622223679\
3090208071454927204540098309770823362234251861977421278895089070563986\
5993324699312771047346736267991434226603334367748390586096168386791194\
9216631258560268654629954816391841992863674501714225995418735558688763\
6003568084241221478621695307152384094531375297756356083583426234545493\
9262956120176185279497084639529455051732477873254229944676787432793704\
16826869347245921635509244741066157981696

[phoenixs]

อามาจากไหนครับ

[หยินหยาง]

#11
ก็ $4444^{4444}= 510363250372550804820...$
เริ่มคูณตอนอยู่ ม.1 ตอนที่ได้รู้จักเลขยกกำลัง แล้วก็คูณไปเรื่อยๆ ทุกวัน เพิ่งเสร็จ ตอนนี้กำลังจะหาคนช่วยบวกให้อยู่ครับ คิดว่าใช้เวลาไม่นานครับ
ถ้าสนใจก็เชิญเลยครับ (ล้อเล่นนะครับ)