แนวข้อสอบเข้าค่าย๒ สอวน มข.

[Thgx0312555]

1. ให้ $a, b, c \in \mathbb{R} ^+$
จงพิสูจน์ว่า $\frac{a+b+c}{1+a+b+c}\leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

2.ให้ $a, b, c \in \mathbb{R}$
จงพิสูจน์ว่า $|a+b|+|b+c|+|c+a|\leqslant |a|+|b|+|c|+|a+b+c|$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

1. ให้ $a, b, c \in \mathbb{R} ^+$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a+b+c}{1+a+b+c}\leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$$

by Cauchy Engel Form
$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}$$
Then it's remain to show that $$\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{1+a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)+(a+b+c)^2\ge (a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)$$

Which is true for all $a,b,c \in \mathbb{R^+}$

[Thgx0312555]

มีวิธีใช้ AM-GM ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

1. ให้ $a, b, c \in \mathbb{R} ^+$
จงพิสูจน์ว่า $\frac{a+b+c}{1+a+b+c}\leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

ข้อนี้จริงๆแล้วเขาต้องการให้ใช้แนวคิดแบบ induction นะ

จะพิสูจน์ว่า

$\dfrac{a+b}{1+a+b}\leq\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$

อสมการสมมูลกับ

$1-\dfrac{1}{1+a+b}\leq 1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+b}$

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\leq 1+\dfrac{1}{1+a+b}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b}$

แต่เราทราบว่า

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b+ab}\leq \dfrac{2+a+b}{1+a+b}$

จึงได้อสมการที่ต้องการ

ลองเอากรณีนี้ไปพิสูจน์กรณี $n$ ตัวแปรดูครับ

3. ให้ $a_1,a_2,...,a_n>0$ จงพิสูจน์ว่า

$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_n}\leq\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{1+a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1+a_n}$

[Amankris]

#4
ผมนึกว่าเค้าอยากให้ทำแบบนี้ซะอีก

Hide

$\dfrac{a_i}{1+a_1+a_2+\cdots+a_n}\le\dfrac{a_i}{1+a_i}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#4
ผมนึกว่าเค้าอยากให้ทำแบบนี้ซะอีก

Hide

$\dfrac{a_i}{1+a_1+a_2+\cdots+a_n}\le\dfrac{a_i}{1+a_i}$

ง่ายกว่าจริงด้วย