ทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ

[ครูนะ]

$1/(4 + 32^{1/3} + 36^{1/3})$

ช่วยคิดให้หน่อยครับ ผมลองคิดแล้วมันไม่หลุดจริงๆ

[nooonuii]

ไม่ได้ยากถึงขนาดคิดไม่ได้ แต่ถ้าคิดโดยใช้มือคงเบื่อกันไปก่อนที่จะได้คำตอบครับ

ขนาดผมคิดโดยใช้น้องเปิ้ลยังเบื่อเลย

ให้ $x=32^{1/3}+36^{1/3}$

จะได้ $x-32^{1/3}-36^{1/3}=0$

ดังนั้น $x^3-32-36=3x(-32^{1/3})(-36^{1/3})$

$x^3-68=12\sqrt[3]{18}x$

$x^9-204x^6-17232x^3-314432=0$

ต่อไปจับ $x^9-204x^6-17232x^3-314432$ มาหาร $x+4$ จะได้

$x^9-204x^6-17232x^3-314432=(x+4)(x^8-4x^7+16x^6-268x^5+1072x^4-4288x^3-80x^2+320x-1280)-309312$

แต่ข้างซ้ายเป็นศูนย์ จึงได้

$\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{x^8-4x^7+16x^6-268x^5+1072x^4-4288x^3-80x^2+320x-1280}{309312}$

[Best of me]

ขอโทษด้วยนะครับ ถ้าความสงสัยของผมมันอาจจะฟังดูงงๆ
ประเด็นแรก ผมอยากจะทราบว่า $\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }$ เป็นจำนวนตรรกยะหรือเปล่าครับ

ประเด็นที่สอง ถ้าไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แล้วโจทย์ข้อนี้จะยังมีความหมายอยู่หรือเปล่าครับ เพราะถ้าผมให้ $y=\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }$ ผมก็จะได้ว่า $\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }=\frac{y}{1}$ ซึ่งก็ไม่ต่างจากคำตอบที่พี่ nooonuii ให้ เพราะยังไงตัวเศษก็ไม่มีทางเป็นจำนวนตรรกยะอยู่แล้วไม่ใช่หรอครับ

ประเด็นที่สาม ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วใช้วิธีของพี่ nooonuii เราจะต้องแสดงว่า ตัวเศษเป็นจำนวนเต็มด้วยหรือเปล่าครับ

ผมเข้าใจผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ

[Amankris]

#3
เป็นอตรรกยะ
ต่างกันตรงที่ เราสามารถเขียน $x$ จาก #2 ในรูปที่ไม่มีเศษส่วนได้ (ส่วน $y$ ยังคงอยู่ในรูปเศษส่วน)

[ครูนะ]

เข้าใจแล้วครับ

ขอบคุณมากครับ ข้อนี้นักเรียนเอามาถาม

แต่ผมทำไม่ได้จริงๆ ครับ

[Best of me]

#4 ขอบคุณมากครับ ตอนนี้ผมพอจะเข้าใจแล้วครับว่าความหมายของโจทย์คือ ให้จัดรูปใหม่ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยที่ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวเศษอยู่ในรูปพหุนามของ $\sqrt[3]{32}$ กับ $\sqrt[3]{36}$

มีวิธีง่ายๆที่จะแสดงว่า $\sqrt[3]{32}+\sqrt[3]{36}$ เป็นอตรรกยะไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Best of me

#4 ขอบคุณมากครับ ตอนนี้ผมพอจะเข้าใจแล้วครับว่าความหมายของโจทย์คือ ให้จัดรูปใหม่ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยที่ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวเศษอยู่ในรูปพหุนามของ $\sqrt[3]{32}$ กับ $\sqrt[3]{36}$

มีวิธีง่ายๆที่จะแสดงว่า $\sqrt[3]{32}+\sqrt[3]{36}$ เป็นอตรรกยะไหมครับ

ผมทำไว้แล้วแต่ไม่ได้ชี้ให้เห็น

สมมติว่า $x=32^{1/3}+36^{1/3}$ เป็นจำนวนตรรกยะ

จะได้ว่า $x$ เป็นรากของสมการ $x^3-68=12\sqrt[3]{18}x$

จึงได้ว่า $\sqrt[3]{18}=\dfrac{x^3-68}{12x}$ เป็นจำนวนตรรกยะด้วย ซึ่งขัดแย้ง

[Best of me]

ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii

[coolmost]

อืมงี้เองหรอครับ