ข้อสอบประกายกุหลาบ ปี 2551 (Edit 01)

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ใครที่โหลดได้้ไม่ว่าจะจากลิงค์ไหนก็ตาม ช่วยอัพโหลดให้ใหม่ได้ไหมครับ เพราะผมลองใช้ทั้ง ie และ ff แต่ก็โหลดไม่ได้ครับ ขอบคุณครับ

อ้อ เฉลยตอนแรก เท่าที่ผมแกะลายแทงออกได้้ครับ

ตอนที่หนึ่ง
1. ไม่มีคำตอบในตัวเลือก

แนวคิด

a) y เป็นจำนวนบวกที่ทำให้ $\frac3{2y}>1$ นั่นคือ $0<y<\frac32$
b) $\displaystyle{\sum\frac1x=\frac{\sum{xy}}{xyz}=0}$ ทำให้ $\sum{xy}=0$ ดังนั้น $(\sum x)^2=\sum x^2+2\sum xy=4$
c) $\frac{r^2}{s}-\frac{s^2}{r}-(r-s)=\frac{r^3-s^3-rs(r-s)}{rs}=\overbrace{(r-s)}^{<0}\overbrace{\frac{(r^2+s^2)}{rs}}^{>0}<0$

2. ง

แนวคิด

โดยใช้สังยุคในแต่ละเทอม แล้วรวมแบบส่องกล้อง จะได้ผลรวมเป็น $3(\sqrt7-1)\approx 4.9373$ (ปัดขึ้น)

3. ก (ทั้งๆที่จริงมีคำตอบอีกมากมายที่สอดคล้อง)

แนวคิด

เทอมทางขวามีค่าเป็น 1 ดังนั้น $(5x-40)^\circ=90^\circ,450^\circ,\dots$ นั่นคือ $x=20^\circ,92^\circ,\dots$

4. ข

แนวคิด

ให้ $BD=2x,\ DC=x\ CE=3y\ AE=2y$ โดย Ceva Theorem จะได้ $$\frac{2x}{x}\cdot\frac{3y}{2y}\cdot\frac{AH}{HB}=1$$ดังนั้น $AH:HB=1:3$ ทำให้ $\frac{[\triangle AHC]}{[\triangle ABC]}=\frac{1}{1+3}=\frac14$

5. ง

แนวคิด

จาก $a(a+c)c=8(a+(a+c)+c)$ และ $b=a+c\ne0$ จะได้ $ac=16$
นั่นคือ $(a,b,c,abc)=(1,17,16,272),(2,10,8,160),(4,8,4,128),(8,10,2,160),(16,17,1,272)$
ผลรวมจึงเป็น $272+160+128=560$

6. ค

แนวคิด

จัดรูปสมการโจทย์ จะได้ $$(p+1)^2t^2-[a(p-1)+b(p+1)]t+(p-1)c=0$$ เพราะคำตอบเป็นจำนวนตรงข้าม ดังนั้น $a(p-1)+b(p+1)=0$ นั่นคือ $P=\frac{a-b}{a+b}$
เมื่อตรวจสอบค่าตามอสมการเงื่อนไขทีละชุด จะพบว่า $(a,b)=(4,1)$ ให้ค่า $P=3/5$ เป็นค่าสูงสุด

7. คิดยังไม่ออกครับ
8. ก

แนวคิด

ปริมาตรกรวยตัดคือ $\frac13\pi(4^2\cdot3-3^2\cdot9)=37\pi$ cm³ ดังนั้นต้องตัก $\frac{2072\pi}{37\pi}=56$ ครั้ง

9. ค

แนวคิด

$\displaystyle{f_{\bar{0}}=\frac{1}{1-x},\ f_{\bar{1}}=\frac{x-1}{x},\ f_{\bar{2}}=x}$ เมื่อ $\bar{0},\ \bar{1},\ \bar{2}$ แทนจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ได้เศษ 0,1,2 ตามลำดับ
ดังนั้น $f_{2551}(2008)=\frac{2007}{2008}$

10. ค

แนวคิด

ลำดับนี้มี $a_n=n(n+1)$ มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของ $a_{64}$ และ $a_{65}$ นั่นคือ $\frac12(64\cdot65+65\cdot66)=65^2=4225$

ข้อ 3 นายคิดผิดนะครับน้องตั้ม ทางขวาจะได้ รูท 3/2 นักปราชญ์ยังมีพรั้ง 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555

[น้องเจมส์]

ขอวิธีข้อ34 กับ15

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ น้องเจมส์

ขอวิธีข้อ34

solution

w: ให้ $(1-x+x^2-x^3+...+x^{2008})^{2551} = a_0 + a_1x + a_2x^2+ ... + a_{2008 \times 2551}$

แทน $x = 1$ จะได้ $(1-1+1-1+...+1^{2008})^{2551} = a_0+a_1+...+a_{2008 \times 2551}$

ดังนั้น $1 = w$

x : เนื่องจาก n กับ n+1 จะเป็นจำนวนคู่ กับ จำนวนคี่ ตรงข้ามกันเสมอ ดังนั้น $x = 1$

y : $7^1$ ลงท้ายด้วย 7, $7^2$ ลงท้ายด้วย 9, $7^3$ ลงท้ายด้วย 3, $7^4$ ลงท้ายด้วย 1, ...

และเนื่องจาก 51 หารด้วย 4 เหลือเศษ 3 แสดงว่า $y = 3$

z : เนื่องจาก $(a-1)^2 \ge 0 $ ทุกจำนวนจริง $a$

เมื่อกระจายแล้วจัดรูปจะได้ $a^2 + a + 1 \ge 3a$

ดังนั้น $(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1) \ge (3a)(3b)(3c) = 9abc$ นั่นคือ $z = 9$

จึงได้ $(w+z)^{x+y} = 10^4$