โจทย์สมการกำลัง 5

[อัจฉริยะข้ามจักรวาล]

ให้ $x^3 + \frac{1}{x^3} = 5$ แล้ว $x^5 + \frac{1}{x^5} = ?$ ใครรู้ช่วยตอบทีครับ ขอวิธีทำด้วยนะครับ

[SOS_math]

หา $x+\frac1x$ ให้ได้ก่อน แล้วที่เหลือก็ลองทำเองนะครับ

[gon]

ลองใช้หลักการแยกตัวประกอบดู อาจจะออกครับ.

\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = (a+b)[(a+b)^2 - 3ab]\]
\[a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) = ...?\]

[Mastermander]

$x+\dfrac{1}x $ หายากครับ

กดเครื่องดูแล้ว

[คณิตศาสตร์]

$$x+\frac{1}{x} = 0$$ ใช้รึเปล่า

พอหาค่า $$x+\frac{1}{x}$$ ได้ก็จัดการแยกตัวประกอบของ $$x+\frac{1}{x}$$ ทั้งหมดยกกำลัง 5

ขอสูตรแยกตัวประกอบหน่อยครับ

[putmusic]

ก๋ ใช้ สามเหลี่นมปาสคาลสิครับ
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.......

[คณิตศาสตร์]

ผมไม่แน่ใจชักแล้วคิดอีกทีได้ $$x+\frac{1}{x} = -1$$

[Mastermander]

\[
x + \frac{1}{x} \notin \mathbb{Q}
\]


\[
x + \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}'
\]

[t.B.]

ผมไม่แน่ใจชักแล้วคิดอีกทีได้ $x+\frac{1}{x} =−1$

$x+\frac{1}{x} \geq 2 ;x\in R^{+} $
หมายเหตุ ข้อนี้ x เป็น+

[หยินหยาง]

โดยหลักการของการทำโจทย์ลักษณะนี้ก็อย่างที่คุณ SOS_math ว่าต้องหา $x+\frac{1}{x}$ก่อนและก็อย่างที่คุณ Mastermander ว่ามันหายาก
ลองใช้วิธีนี้ดูไม่รู้ว่าจะใช้ได้หรือเปล่า
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 5 $ จะได้ว่า $ x^6 -5{x^3} + 1 = 0$
ให้ $x^3 = A$ ดังนั้น จะได้ว่า $A^2-5A+1 = 0$
$ A = \frac{5\pm \sqrt{21} }{2} $
เพราะฉะนั้น $x^5 + \frac{1}{x^5} = {(\frac{5\pm \sqrt{21} }{2})}^{\frac{5}{3}} +{(\frac{2}{5\pm\sqrt{21}})} ^{\frac{5}{3}}$
จะได้ค่าประมาณ 13.69 ครับ ให้ผู้รู้ท่านอื่นช่วยแนะนำถ้าผิดพลาด

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

โดยหลักการของการทำโจทย์ลักษณะนี้ก็อย่างที่คุณ SOS_math ว่าต้องหา $x+\frac{1}{x}$ก่อนและก็อย่างที่คุณ Mastermander ว่ามันหายาก
ลองใช้วิธีนี้ดูไม่รู้ว่าจะใช้ได้หรือเปล่า
$x^3 + \frac{1}{x^3} = 5 $ จะได้ว่า $ x^6 -5{x^3} + 1 = 0$
ให้ $x^3 = A$ ดังนั้น จะได้ว่า $A^2-5A+1 = 0$
$ A = \frac{5\pm \sqrt{21} }{2} $
เพราะฉะนั้น $x^5 + \frac{1}{x^5} = {(\frac{5\pm \sqrt{21} }{2})}^{\frac{5}{3}} +{(\frac{2}{5\pm\sqrt{21}})} ^{\frac{5}{3}}$
จะได้ค่าประมาณ 13.69 ครับ ให้ผู้รู้ท่านอื่นช่วยแนะนำถ้าผิดพลาด

ถูกครับ...


เพราะ $x+\dfrac{1}{x}=
\frac{1}{3}\left( {\frac{{135}}{2} - \frac{{27\sqrt {21} }}{2}} \right)^{1/3} + \left( {\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)^{1/3}
$

หายากไหมละครับ

[คณิตศาสตร์]

ทำไมผมถึงทำไม่ได้น่า

[putmusic]

555+ ยังมองโจทย์ไม่ทะลุสิครับ

[คณิตศาสตร์]

มองทะลุแล้วแต่ทำผิด