minimum

[mercedesbenz]

ถ้า $0\leq P_i\leq 1$ สำหรับทุก $1\leq i\leq n$ และ $P_1+P_2+P_3+\cdots+P_n=1$
จะแสดงว่า ค่าน้อยสุด(minimum) ของ $P^2_1+P^2_2+P^2_3+\cdots+P^2_n=\frac{1}{n}$
และ $P_i=\frac{1}{n}$ สำหรับทุก $1\leq i\leq n$

[M@gpie]

ทำได้โดยอาศัย Cauchy Inequality ครับ
\[ 1 = P_1+P_2+ ...+ P_n \leq \sqrt{P_1^2+P_2^2+...+P_n^2}\sqrt{n} \]

[SOS_math]

โดย Cauchy-Schwarz inequality:
$$1=1\cdot P_1+1\cdot P_2+\cdots+1\cdot P_n\le
(1+1+\cdots+1)^{1/2}(P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2)^{1/2}$$
ดังนั้น
$P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2\ge\frac1n$
และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $P_1=P_2=\cdots=P_n$ ซึ่งทำให้เราได้ข้อสรุปตามต้องการ

[mercedesbenz]

ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยเหลือ (ทุกคนเลย)

[nooonuii]

แถมให้อีกหนึ่งวิธีครับ
ใช้อสมการ $2ab\leq a^2+b^2$
พิสูจน์

$1=(p_1+p_2+\cdots + p_n)^2$

$\displaystyle{\,\,\,\, =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_ip_j}$

$\displaystyle{\,\,\,\,\leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac{p_i^2+p_j^2}{2}}$

$\,\,\,\,=n(p_1^2+\cdots + p_n^2)$

[mercedesbenz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SOS_math

โดย Cauchy-Schwarz inequality:
$$1=1\cdot P_1+1\cdot P_2+\cdots+1\cdot P_n\le
(1+1+\cdots+1)^{1/2}(P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2)^{1/2}$$
ดังนั้น
$P_1^2+P_2^2+\cdots+P_n^2\ge\frac1n$
และสมการเกิดขึ้นเมื่อ $P_1=P_2=\cdots=P_n$ ซึ่งทำให้เราได้ข้อสรุปตามต้องการ

บรรทัดตรงที่ว่า สมการเกิดขึ้้นเมื่อ...
ทำไมต้องเป็นอย่างนี้คับ

[M@gpie]

ได้จากเงื่อนไขที่อสมการกลายเป็นสมการของ อสมการโคชีครับ สำหรับกรณีนี้ คือ มีค่าคงที่ค่าหนึ่งที่ทำให้ $P_i=k$