มาช่วยกานหาคำตอบนะครับ

[!c]-[!M4ru_1Vg!1V]

1.(x/y)/z=8 </=หารครับ>
(x/y)-z=21
x-y=23
จงหาค่าของ x+y+z=เท่าไหร่
2.กำหนดให้ a และ b เป็นค่าคงที่ซึ่งทำให้
ax+by=6
ax2+by2=12 <ax2=axยกกำลังสอง>
ax3+by3=30
ax4+by4=84
จงหาค่าของax5+by5
3.x3-1<xยกกำลังสาม-1>ไปหาร x+x3+x9+x27+x81+x243เหลือเศษเท่าใด

[Maphybich]

ขออนุญาตแปลก่อนนะครับ อ่านไม่รู้เรื่องครับ
1.) $$\frac{\frac{x}{y}}{z}=8$$
$$\frac{x}{y}-z=21$$
$$x-y=23$$
$$x+y+z=?$$

2.)$a,b$ เป้นค่าคงตัว
$$ax+by=6$$
$$ax^2+by^2=12$$
$$ax^3+by^3=30$$
$$ax^4+by^4=84$$
$$ax^5+by^5=?$$

3.)$x^3-1$ไปหาร $x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}+x^{243}$เหลือเศษเท่าใด

1.

Hint

จากสมการแรกได้ $\displaystyle{\frac{x}{y}=8z}$ แทนในสมการที่สอง

My Solution

$\displaystyle{\frac{x}{y}}=8z$
$\displaystyle{\frac{x}{y}-z}=21$
$8z-z=21$
$z=3$
$\displaystyle{\frac{x}{y}=21+z}$
$\displaystyle{\frac{x}{y}=24}$
$x=24y$
$x-y=23$
$24y-y=23$
$y=1$
$x=24$
$x+y+z=24+1+3=28$

ข้อสองผมรู้สึกว่าโจทย์ไม่ครบนะครับ ต้องมีค่า $a+b$ มาให้ด้วยครับ ไม่งั้นผมก็ไม่ออกหรอกครับ

ถ้ามีก็...

2.

Hint

นำสมการที่ $ax+by$คุณด้วย $x+y,x^2+y^2,x^3+y^3,x^4+y^4$ ดูแล้วจัดรูปดูครับ จะเห็นอะไรบางอย่างที่ต้องทำได้ครับ

ข้อสามถ้าเป็นกำลังสองผมทำได้อ่ะครับ กำลังสามทำไม่ได้ = =
ถ้าเป็นกำลังสองก็

3.

Hint

ลองดึงตัวร่วม $x$ ออกมาแล้วแทน $P(x^2)$ ดูครับ แล้วลองแทนไปเรื่อยๆจะได้เศษเป็น $6x$ ครับ

Short My Solution

เมื่อดึงมาแล้วเขียนได้ในรูป
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}$
ให้ $y=x^2$
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}=\frac{x(P(y)}{y-1}=x(\frac{Q(y) + P(1)}{(y-1)}) = x(Q(y)) + x(\frac{P(1)}{(y-1)}) = x(Q(x^2) + \frac{6x}{(x^2-1)})$
$\therefore$ เศษจากการหารคือ $6x$

[!c]-[!M4ru_1Vg!1V]

ขอบคุณมากครับที่ตอบ

ข้อ1ก็ง่ายอยู่หรือเปล่าคับ
<โจทย์ที่คุณแปลมาถูกละครับ

ในโจทย์ข้อ2มันไมได้บอกครับ

เดี๋ยวอธิบายข้อ3ก่อนนะครับ
เนื่องจากx+x3+x9+x27+x81+x243=x+5+(x3-1)+(x9-1)+(x27-1)+(x81-1)+(x243-1)
และจาก x3-1,x9-1,x27-1,x81-1,x243-1 มีx3-1เป็นตัวประกอบ
ฉะนั้น เศษที่ได้จากการหาร x+x3+x9+x27+x81+x243 คือ x+5

[วิหก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

ขออนุญาตแปลก่อนนะครับ อ่านไม่รู้เรื่องครับ
1.) $$\frac{\frac{x}{y}}{z}=8$$
$$\frac{x}{y}-z=21$$
$$x-y=23$$
$$x+y+z=?$$

2.)$a,b$ เป้นค่าคงตัว
$$ax+by=6$$
$$ax^2+by^2=12$$
$$ax^3+by^3=30$$
$$ax^4+by^4=84$$
$$ax^5+by^5=?$$

3.)$x^3-1$ไปหาร $x+x^3+x^9+x^{27}+x^{81}+x^{243}$เหลือเศษเท่าใด

1.

Hint

จากสมการแรกได้ $\displaystyle{\frac{x}{y}=8z}$ แทนในสมการที่สอง

My Solution

$\displaystyle{\frac{x}{y}}=8z$
$\displaystyle{\frac{x}{y}-z}=21$
$8z-z=21$
$z=3$
$\displaystyle{\frac{x}{y}=21+z}$
$\displaystyle{\frac{x}{y}=24}$
$x=24y$
$x-y=23$
$24y-y=23$
$y=1$
$x=24$
$x+y+z=24+1+3=28$

ข้อสองผมรู้สึกว่าโจทย์ไม่ครบนะครับ ต้องมีค่า $a+b$ มาให้ด้วยครับ ไม่งั้นผมก็ไม่ออกหรอกครับ

ถ้ามีก็...

2.

Hint

นำสมการที่ $ax+by$คุณด้วย $x+y,x^2+y^2,x^3+y^3,x^4+y^4$ ดูแล้วจัดรูปดูครับ จะเห็นอะไรบางอย่างที่ต้องทำได้ครับ

ข้อสามถ้าเป็นกำลังสองผมทำได้อ่ะครับ กำลังสามทำไม่ได้ = =
ถ้าเป็นกำลังสองก็

3.

Hint

ลองดึงตัวร่วม $x$ ออกมาแล้วแทน $P(x^2)$ ดูครับ แล้วลองแทนไปเรื่อยๆจะได้เศษเป็น $6x$ ครับ

Short My Solution

เมื่อดึงมาแล้วเขียนได้ในรูป
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}$
ให้ $y=x^2$
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}=\frac{x(P(y)}{y-1}=x(\frac{Q(y) + P(1)}{(y-1)}) = x(Q(y)) + x(\frac{P(1)}{(y-1)}) = x(Q(x^2) + \frac{6x}{(x^2-1)})$
$\therefore$ เศษจากการหารคือ $6x$

ข้อ .1 ยังมีอีกวิธีครับ
หาค่าของ $\frac{x}{y}$ จาก $\frac{x}{y}-z=21$
จะได้ค่าของ $\frac{x}{y}=21+z$ แทนค่า $\frac{x}{y}$
ลงใน $\frac{\frac{x}{y}}{z}=8$ จะได้ค่า $z=3$ จาก$z=3$ จะได้ค่า $\frac{x}{y}=24$
$x=24y$ แทนค่าจะได้ $y=1$, $x=24$และ $z=3$ ดังนั้นค่าของ $x+y+z=28$ครับ
ส่วนข้อ 3. ก็ตามคุณMaphybichบอกครับ

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

2.)$a,b$ เป้นค่าคงตัว
$ax + by = 6$ ----- (1)
$ax^2 + by^2 = 12$ -------(2)
$ax^3 + by^3 = 30$ -------(3)
$ax^4 + by^4 = 84$ ------- (4)
$ax^5 + by^5 = ? $

ขอคิดต่อจากคุณ Maphybich ก็แล้วกันครับ
$สมการ(2) \times (x + y)$ --> $(ax^2 + by^2) \times (x + y)$ = $ax^3+by^3 + ax^2y+by^2x$
$ 12(x + y)$ = $(ax^3 + by^3) + xy(ax + by) = 30 + 6xy$
ให้ (x + y) = U และ xy = V จะได้รูปสมการใหม่เป็น 12U = 30 + 6V -----(5)

$สมการ(3) \times (x + y)$ --> $(ax^3 + by^3) \times (x + y)$ = $ax^4+by^4 + ax^3y+by^3x$
$ 30(x + y)$ = $(ax^4 + by^4) + xy(ax^2 + by^2) = 84 + 12xy$
ให้ (x + y) = U และ xy = V จะได้รูปสมการใหม่เป็น 30U = 84 + 12V -----(6)

$จาก สมการ(5) และ สมการ(6) จะได้ค่า U = (x + y) = 4 ; V = xy = 3$

$สมการ(4) \times (x + y)$ --> $(ax^4 + by^4) \times (x + y)$ = $ax^5+by^5 + ax^4y+by^4x$
$ (ax^4 + by^4) \times (x + y)$ = $(ax^5 + by^5) + xy(ax^3 + by^3)$
แทนค่าต่างๆลงในสมการ จะได้ว่า$ 84 \times 4$ = $(ax^5 + by^5) + 3\times 30$
$(ax^5 + by^5) = 336 - 90 =$ 246 ---> Ans.

[Puriwatt]

ข้อ 3. ตั้งหารยาวแล้วได้เศษ x+5 เหมือนที่คุณ !c]-[!M4ru_1Vg!1V เฉลยครับ

ไม่เชื่อลองคูณสมการข้างล่างดูก็แล้วกัน(คิดผิดนะครับ แต่ทิ้งไว้ให้ดูเป็นบทเรียนตัวอย่างครับ)
$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x) \not= (x^3-1)(x^{81}+2x^{27}+3x^9+4x^3+5) + (x+5)$
ลองเทียบกำลังดูแล้วจะรู้ว่าผิดครับผม

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อ 3. ตั้งหารยาวแล้วได้เศษ x+5 เหมือนที่คุณ !c]-[!M4ru_1Vg!1V เฉลยครับ


$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x)$ = $(x^3-1)(x^{81}+2x^{27}+3x^9+4x^3+5) + (x+5)$

ผมว่าไม่เท่ากันนะครับ แต่คำตอบใช่ครับ

[หยินหยาง]

จากนิยามเรื่องเลขยกกำลัง เมื่อ $a\in R $ และ $m, n \in I^+ $
$a^m*a^n = a^{m+n}$
$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x) = (x^3-1)(x^{81}+2x^{27}+3x^9+4x^3+5) + (x+5)$
จะเห็นว่าดีกรี ข้างซ้าย ยกกำลัง 243 ส่วนข้างขวา ดีกรีเพียง 84 ( 84= 81+3) ไม่เท่ากันครับ จริงๆ ข้อนี้เป็นอย่างนี้ครับ
$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x) = ((x^3)^{81}-1) + ((x^3)^{27}-1)+((x^3)^9-1)+((x^3)^3-1)+((x^3)-1) +x+5$
แต่ข้างขวาทุกพจน์มี $((x^3)-1)$ เป็นตัวประกอบ ยกเว้น $x+5$ ดังนั้นเศษที่เหลือคือ....

[Puriwatt]

ขอโทษทีครับ ตายน้ำตื้นแล้วซิเรา

ขอบคุณ คุณหยินหยาง มากๆครับ ที่แนะนำ

[The jumpers]

ขออนุญาตแปลก่อนนะครับ อ่านไม่รู้เรื่องครับ
1.) $$\frac{\frac{x}{y}}{z}=8$$
$$\frac{x}{y}-z=21$$
$$x-y=23$$
$$x+y+z=?$$

1.)จาก $\frac{\frac{x}{y}}{z}=8$
$\frac{x}{y}=8z$
จะได้ $8z-z=21$
$z=3$
$\frac{x}{y}=24$
$x=24y$
จะได้ $24y-y=23$
$y=1$;$x=24$
$\therefore x+y+z=28$

[The_Sage]

เอาโจทย์มาจากไหนหรอครับ

น่าสนใจดีครับ

[Puriwatt]

แล้วผมคิดข้อ 3. ใหม่เลยแยกตัวประกอบได้ดังนี้ครับ
$(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x)$ = $(x^3-1)\cdot (x^{240}+x^{237}+x^{234}+...+x^{84}+x^{81}+2x^{78}+2x^{75}$
$+2x^{72}+...+2x^{30}+2x^{27}+3x^{24}+3x^{21}+3x^{18}+3x^{15}+3x^{12}+3x^9+4x^6+4x^3+5)+$ (x+5)

และอยากขยายแนวคิดของคุณหยินหยางเพิ่มเติมอีกนะครับ
จาก $a^3-1 = (a-1)\cdot (a^2+a+1)$ เราจะได้ว่า

$x^9-1 = (x^3)^3-1 = (x^3-1)\cdot ((x^3)^2+(x^3)+1) = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1) $
$x^{27}-1 = (x^9)^3-1 = (x^9-1)\cdot ((x^9)^2+(x^9)+1) = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1) $
$x^{81}-1 = (x^{27})^3-1 = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1)\cdot (x^{54}+x^{27}+1)$
$x^{243}-1 = (x^{81})^3-1 = (x^3-1)\cdot (x^6+x^3+1)\cdot (x^{18}+x^9+1)\cdot (x^{54}+x^{27}+1)\cdot (x^{162}+x^{81}+1)$

ทุกชุดมี $(x^3-1)$ เป็นตัวประกอบร่วม ดังนั้นจะได้ว่า
$(x + x^3+ x^9+ x^{27}+ x^{81}+ x^{243})$ = (x+5)+$(x^3-1)\cdot \sum_{n = 0}^{80} a_n.x^{3n}$
และเศษที่เหลือจากการหารด้วย $(x^3-1)$ ก็คือ x+5 ครับ

[หยินหยาง]

ข้อ 3 ขออธิบายเพิ่มเติม คือผมใช้หลักการสังเกตที่ว่า $(x^n-1) = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+1)$
ดังนั้นผมจึงมอง $(x^{243}+x^{81}+x^{27}+x^9+x^3+x) = ((x^3)^{81}-1) + ((x^3)^{27}-1)+((x^3)^9-1)+((x^3)^3-1)+((x^3)-1) +x+5$

[Nickname]

เอาโจทย์มาจากไหนสุดยอดเลย

[jom-yud]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

ขออนุญาตแปลก่อนนะครับ อ่านไม่รู้เรื่องครับ

ลองดึงตัวร่วม $x$ ออกมาแล้วแทน $P(x^2)$ ดูครับ แล้วลองแทนไปเรื่อยๆจะได้เศษเป็น $6x$ ครับ
[hidden=Short My Solution] เมื่อดึงมาแล้วเขียนได้ในรูป
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}$
ให้ $y=x^2$
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}=\frac{x(P(y)}{y-1}=x(\frac{Q(y) + P(1)}{(y-1)}) = x(Q(y)) + x(\frac{P(1)}{(y-1)}) = x(Q(x^2) + \frac{6x}{(x^2-1)})$
$\therefore$ เศษจากการหารคือ $6x

งงมากเลยคับ
อะไรคือ $\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}$
ให้ $y=x^2$
$\frac{x(P(x^2))}{x^2-1}=\frac{x(P(y)}{y-1}=x(\frac{Q(y) + P(1)}{(y-1)}) = x(Q(y)) + x(\frac{P(1)}{(y-1)}) = x(Q(x^2) + \frac{6x}{(x^2-1)})$
อยากรู้ p(x) คืออะไร q(x) คืออะไร