Nice inequality problem

[RoSe-JoKer]

โจทย์เก่าแล้วนะครับ...หลายๆคนคงเคยเห็นกันมาแล้ว เอามาเผื่อคนยังไม่เคยเห็น
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{13}{6}-\frac{2(ab+bc+ca)}{3(a^2+b^2+c^2)}$

[Spotanus]

ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ RoSe-JoKer มากนะครับ ที่ให้โจทย์สวยมากมาให้ทำ
ปลื้มจริง...

อสมการดังกล่าว สมมูลกับ
$$\displaystyle{\sum_{cyc}(a-b)^{2}\cdot \left(\frac{2(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}}{12(a+c)(b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\right) \geq 0}$$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่า เป็นจริง

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

ก่อนอื่นต้องขอบคุณ คุณ RoSe-JoKer มากนะครับ ที่ให้โจทย์สวยมากมาให้ทำ
ปลื้มจริง...

อสมการดังกล่าว สมมูลกับ
$$\displaystyle{\sum_{cyc}(a-b)^{2}\cdot \left(\frac{2(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}}{12(a+c)(b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\right) \geq 0}$$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่า เป็นจริง

ผมไม่ค่อยสนใจตรงคำตอบ แต่ว่าสนใจตรงวิธีทำจนออกมาได้ไอ้ก้อนยาวๆนี้
ไม่ทราบว่าคุณ spotanus จะอธิบายให้ผมเข้าใจได้ไหมครับ?

[Anonymous314]

ขอถามเช่นเดียวกับคุณ owlpenguin ด้วยครับ

[beginner01]

ลองดูอีกวิธีละกันครับ เห็นว่าสวยดีเหมือนกัน

Proof

Lemma: ให้ $a,b,c>0$ ได้ว่า $\displaystyle 2\sum_{cyc}a^5+2\sum_{cyc}a^2b^2c\geq \sum_{sym}a^4b+\sum_{sym}a^3b^2$

Proof: ได้ว่าสิ่งที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $\displaystyle\sum_{cyc}(a+b)(a-b)^2(a+b-c)^2\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงโดยชัดเจน

กลับมาที่โจทย์ ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{6a^5-7a^4b-7ab^4+3a^3b^2+3a^2b^3+2a^2b^2c}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
จาก Lemma ได้ว่าเพียงพอที่จะแสดงว่า
$\displaystyle\sum_{cyc}\frac{4a^5-6a^4b-6ab^4+4a^3b^2+4a^2b^3}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2a^5+2b^5-6a^4b-6ab^4+4a^3b^2+4a^2b^3}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-6(a+b)(a^3b-a^2b^2+ab^3)+4(a+b)(a^2b^2)}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{2(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-3a^3b+3a^2b^2-3ab^3+2a^2b^2)}{6(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)}{3(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a-b)^4}{3(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2)}\geq0$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง

[S!xTo12Y]

ขอขอบคุณคุณ RoSe-JoKer มากนะครับสำหรับโจทย์ที่มีความสวยมากมาย

ได้ว่าอสมการเป็นจริง
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2} \geqslant \frac{2}{3}-\frac{2(ab+bc+bc)}{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}\frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \geqslant \frac{\sum_{cyc}(a-b)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}(a-b)^2\left(\frac{3(a^2+b^2+c^2)-2(a+c)(b+c)}{6(a^2+b^2+c^2)(a+c)(b+c)}\right) \geqslant 0 $
$\Leftrightarrow \displaystyle{\sum_{cyc}}(a-b)^2\left(\frac{(2a-c)^2+(2b-c)^2+2(a-b)^2}{12(a^2+b^2+c^2)(a+c)(b+c)}\right) \geqslant 0 $
ซึ่งเป็นจริงตามต้องการครับ