Complex ค่ะ ช่วยหนูพิสูจน์หน่อยค่ะ

[มือใหม่หัดถาม]

Suppose that $f(z)$ is an entire function. Suppose futher that there exists $ M\in \mathbb{R} $ such that $\Re ef(z)\leq M$ for every $z\in \mathbb{C} $ . By applying Liouville's theorem to the function $e^{f(z)}$ ,show that $f(z)$ is constant.

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดถาม

Suppose that $f(z)$ is an entire function. Suppose further that there exists $ M\in \mathbb{R} $ such that $\Re ef(z)\leq M$ for every $z\in \mathbb{C} $ .
By applying Liouville's theorem to the function $e^{f(z)}$ ,show that $f(z)$ is constant.

Hint: 1) $f(z)=\Re f(z)+i\Im f(z)$, $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$
2) $f(z)$ is entire. By Liouville's theorem, to show that $f(z)$ is constant, we will need to prove that $|f(z)|$ is bound.
Use 1) and problem statements with some elementary complex numbers properties.

[nooonuii]

แสดงว่า $e^{f(z)}$ เป็น bounded holomorphic function ครับ

[putmusic]

ง่า เขียนเป็นไทยไม่ได้เลยเหรอครับ แย่ชะมัดเลย

[nooonuii]

เกรงว่าถ้าแปลเป็นไทยแล้วจะอ่านไม่รู้เรื่องนี่สิครับ เพราะต้องแปลจากภาษาอังกฤษไปเป็นศัพท์คณิตศาสตร์
ฉบับภาษาไทยซึ่งคนที่จะอ่านรู้เรื่องก็คือคนที่มีพจนานุกรมคณิตศาสตร์ฉบับราชบัณฑิตครับ
แต่ถ้าอยากอ่านจริงๆเดี๋ยวจะแปลให้ครับ คณิตศาสตร์ระดับนี้ส่วนใหญ่จะใช้ภาษาอังกฤษสื่อสารกันครับเพราะมันเขียนแล้วเข้าใจง่ายกว่าและเป็นสากล