ภาคตัดกรวย:Hyperbola ครับ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

Ex.จงหาสมการของ Hyperbola ที่มี จุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด จุดโฟกัสอยู่บนแกน x และมีจุด M(6,-1) และ
N(-8,$2\sqrt{2}$) อยู่บนกราฟของ Hyperbola
SOLUTION:จาก C(0,0) และ F1,F2 อยู่บนแกน x เลือก
$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1
ผ่านจุด M(6,-1) แทนค่า
$\frac{36}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}=1$
$36b^2-a^2=a^2b^2$.....................(1)
ผ่านจุด N(-8,$2\sqrt{2}$)แทนค่า
$\frac{64}{a^2}$-$\frac{8}{b^2}=1$
$64b^2-8a^2=a^2b^2$....................(2)
(1)=(2)
$36b^2-a^2=64b^2-8a^2$;$a^2=4b^2$
$a=\pm 2b$............(3)
แทน(3)ใน(1) ได้
$32b^2-4b^2=(4b^2)(b^2)$
$4b^4-32b^2=0$
$4b^2(b^2-8)=0$
$b=\pm\sqrt{8}$..................(4)
แทน(4)ใน(3)ได้
$a=\pm2\sqrt{8}$ จาก $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
ได้สมการHyperbola คือ $\frac{x^2}{(4\sqrt{2})^2}$-$\frac{y^2}{(2\sqrt{2})^2}=1$

เฮ้อ กว่าจะได้คำตอบออกมา ยาวมากครับ
เลยอยากจะถามว่า ใครมีเทคนิคหรือวิธีลัดบ้างครับ ในกรณีที่เป็น Battle แบบนี้ หรือมันมีสูตรครับ พิสูจน์ให้ด้วยจะดีอย่างยิ่งครับ

[M@gpie]

พี่ไม่เรียกว่าวิธีลัดนะครับ เป็นเทคนิคการคิดเลขมากกว่า ตอนที่แทนสมการจะได้ สองสมการคือ $\frac{36}{a^2} - \frac{1}{b^2} =1$ กับ $\frac{64}{a^2} - \frac{8}{b^2} =1$
ก็แก้สมการสองตัวแปร แทนครับ มอง $1/a^2$ และ $1/b^2$ เป็นตัวแปร จะได้ $a^2=32, b^2=8$ ตามที่น้องได้คำนวณไว้

[gon]

เป้าหมายของเราคือต้องการหาแค่ $a^2, b^2$ ครับ

ดังนั้นถ้าเราสมมติว่า $$\frac{1}{a^2} = x, \frac{1}{b^2} = y$$ก็จะได้สมการ $$64x - 8y = 36x - y = 1$$จับคู่แรกเท่ากันได้ y = 4x แทนในสมการที่สองได้ $x = \frac{1}{32} , y = \frac{1}{8}$

ดังนั้น $$a^2 = 32, b^2 = 8$$ จึงได้ทันทีว่า $$\frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{8} = 1$$ ครับ.

[gnopy]

รู้สึกว่าสำหรับโจทย์ข้อนี้ไม่มีนะครับ แต่ก็มีเทคนิคการหาจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลาอยู่นะครับ แร้วก็หาสิ่งอื่นๆด้วย แต่ข้อสอบแอดมิดชั่นหรือเอนซ์ทรานเก่าๆ เทคนิควิธีลัดก็ไม่ได้ใช้เท่าไหร่นะครับ เพราะเรื่องกว่าจะคิดได้ก็เสียเวลาอยู่เหมือนกันครับ คิดว่า 4 นาทีคงไม่พอ

[RETRORIAN_MATH_PHYSICS]

ครับ ขอบคุณสำหรับการแก้สมการครับ