Domain & Range T_T

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

$2.r=\left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. \left|\,\right. x\left|\,\right. + \left|\,\right. y\left|\,\right. = 1 \left.\,\right\} $

ข้อนี้ผมมีวิธีแบบไล่เอาว่า ไล่ไปทีละquadrant ตามข้อกำหนดที่ว่า$\left|\,\right. x\left.\,\right| = x,x>0$ และ$\left|\,x\right| = -x,x<0$
1.$x>0,y>0$ ...$Q_1$จะได้สมการเป็น$x+y=1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(1,0)$
2.1.$x<0,y>0$...$Q_2$ จะได้สมการเป็น$x-y=-1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(-1,0)$
3.$x>0,y<0$...$Q_3$ จะได้สมการเป็น$x-y=1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,-1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(1,0)$
4.$x<0,y<0$...$Q_4$ จะได้สมการเป็น$x+y=-1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,-1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(-1,0)$
จะได้โดเมนคือ$\left[\,-1,1\right] $
เรนจ์คือ$\left[\,-1,1\right] $

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จำนวนสมาชิกของ$A$น้อยกว่า$B$ แสดงว่า$A\subset B$

จริงเหรอครับ

[กิตติ]

จำนวนสมาชิกของAน้อยกว่าB แสดงว่าA⊂B....เฉพาะในโจทย์

หมายความว่าในโจทย์กำหนดให้$A = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_m\left.\,\right\} , B = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_k\left.\,\right\} $ โดยที่ $m < k$.........$B = \left\{\,\right. $ $\overbrace{a_1, a_2, a_3, ...,a_m}^{สมาชิกในเซต A} $,..., $ a_k\left.\,\right\} $
ผมใช้คำผิด จริงๆแล้ว ถ้า A⊂Bแล้ว จำนวนสมาชิกของ$A$ $\leqslant $ จำนวนสมาชิกของ$B$
ขอบคุณครับที่ช่วยเตือน ไม่งั้นผมได้ทำบาปด้วยการบอกอะไรผิดๆครับ

[กิตติ]

6. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3 \left.\,\right\} $

เงื่อนไขแรกสุดเลยคือ$x\geqslant -1$และ$y\geqslant 1$
จาก$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3$ $\rightarrow \sqrt{x+1} = 3-\sqrt{y-1} $
จับยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วย้ายข้างจัดรูปจะได้สมการว่า
$x^2+y^2-2xy-14x-22y+85=0$
จัดได้เป็น$x^2-(2y+14)x+(y^2-22y+85)= 0$ ใช้หาเรนจ์ตามสูตรคำตอบของสมการกำลังสองที่ว่าสมการมีคำตอบเมื่อ$b^2-4ac\geqslant 0$ จะได้$y\geqslant1$ แต่เงื่อนไขแรกคือ$y\geqslant 1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$y\geqslant 1$
เช่นกันเมื่อจัดหน้าตาเป็น$y^2-(2x+22)y+(x^2-14x+85)=0$ แก้แล้ว$x\geqslant -1$ นำมาอินเตอร์เซกกับ$x\geqslant -1$ ได้ $ x\geqslant -1 $

ถ้าผมคิดตรงไหนตกหล่นก็ช่วยดูด้วยครับ เพิ่งฟื้นความรู้ไม่นานครับ....ไม่รู้จะคิดผิดหรือเปล่า
เพิ่งคิดออกตอนหลังอาบน้ำเสร็จครับว่า...ไม่เห็นต้องไปยกกำลังสองอะไรให้วุ่นวายเลย
จากตรงนี้$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3$ $\rightarrow \sqrt{x+1} = 3-\sqrt{y-1} $
จะได้ว่า $3-\sqrt{y-1} \geqslant 0$ $\rightarrow \sqrt{y-1}\leqslant 3 $ $ \rightarrow y-1\leqslant 9 \rightarrow y\leqslant 10 $
แต่เงื่อนไขแรกคือ $y\geqslant 1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$1\leqslant y\leqslant 10$

$\sqrt{y-1} = 3-\sqrt{x+1} $ $\rightarrow 3-\sqrt{x+1} \geqslant 0$
แก้จนได้ $x\leqslant 8$ เงื่อนไขแรกคือ $x\geqslant -1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$-1\leqslant x\leqslant 8$
ตามที่น้องSirenคิดน่ะถูกแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จำนวนสมาชิกของAน้อยกว่าB แสดงว่าA⊂B....เฉพาะในโจทย์

หมายความว่าในโจทย์กำหนดให้$A = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_m\left.\,\right\} , B = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_k\left.\,\right\} $ โดยที่ $m < k$.........$B = \left\{\,\right. $ $\overbrace{a_1, a_2, a_3, ...,a_m}^{สมาชิกในเซต A} $,..., $ a_k\left.\,\right\} $
ผมใช้คำผิด จริงๆแล้ว ถ้า A⊂Bแล้ว จำนวนสมาชิกของ$A$ $\leqslant $ จำนวนสมาชิกของ$B$
ขอบคุณครับที่ช่วยเตือน ไม่งั้นผมได้ทำบาปด้วยการบอกอะไรผิดๆครับ

ขออภัยครับ เมื่อคืนผมเมา มอง $A$ กับ $B$ มีสมาชิกต่างกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เงื่อนไขแรกสุดเลยคือ$x\geqslant -1$และ$y\geqslant 1$
จาก$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3$ $\rightarrow \sqrt{x+1} = 3-\sqrt{y-1} $
จับยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วย้ายข้างจัดรูปจะได้สมการว่า
$x^2+y^2-2xy-14x-22y+85=0$
จัดได้เป็น$x^2-(2y+14)x+(y^2-22y+85)= 0$ ใช้หาเรนจ์ตามสูตรคำตอบของสมการกำลังสองที่ว่าสมการมีคำตอบเมื่อ$b^2-4ac\geqslant 0$ จะได้$y\geqslant1$ แต่เงื่อนไขแรกคือ$y\geqslant 1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$y\geqslant 1$
เช่นกันเมื่อจัดหน้าตาเป็น$y^2-(2x+22)y+(x^2-14x+85)=0$ แก้แล้ว$x\geqslant -1$ นำมาอินเตอร์เซกกับ$x\geqslant -1$ ได้ $ x\geqslant -1 $

ถ้าผมคิดตรงไหนตกหล่นก็ช่วยดูด้วยครับ เพิ่งฟื้นความรู้ไม่นานครับ....ไม่รู้จะคิดผิดหรือเปล่า

ผมว่าวิธีนี้แค่ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบเมื่อไหร่ แต่ไม่ได้ตรวจสอบว่าถ้ามีคำตอบแล้ว คำตอบที่ได้อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้หรือไม่

เริ่มแรกได้ว่า $x\geq -1,y\geq 1$

แต่จะได้อีกสองอสมการคือ

$\sqrt{x+1}\leq 3$

$\sqrt{y-1}\leq 3$

จึงได้

$-1\leq x\leq 8$

$1\leq y\leq 10$

[กิตติ]

แก้แล้วครับ เมื่อกี้อากาศร้อนครับ สมองเลยมึนตื้อๆครับ

[Slurpee]

ขอรบกวนถามซักข้อนะครับ
เรนจ์ของ $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ หาได้เท่าไรครับ ขอละเอียดด้วยนะครับ รบกวนผู้รู้ด้วยครับ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

ขอรบกวนถามซักข้อนะครับ
เรนจ์ของ $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ หาได้เท่าไรครับ ขอละเอียดด้วยนะครับ รบกวนผู้รู้ด้วยครับ

น่าจะ $\left[ \frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right]$ นะครับ วิธีทำ เดี๋ยวตามมาทีหลัง ตอนเย็นๆ

วิธีทำ

การหา Range ของฟังก์ชันนี้ ใช้แคลคูลัสเข้าช่วย หาจุดสูงสุด กับต่ำสุดครับ และลอง take lim เข้าใกล้ อินฟินิตี้ดู ทั้งสองข้าง จะเข้าใกล้ 1

[Siren-Of-Step]

$y=\frac{\sqrt{3x-4}+12 }{x^2-3x+2}$


$R_r = ...$

[Slurpee]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

น่าจะ $\left[ \frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right]$ นะครับ วิธีทำ เดี๋ยวตามมาทีหลัง ตอนเย็นๆ

วิธีทำ

การหา Range ของฟังก์ชันนี้ ใช้แคลคูลัสเข้าช่วย หาจุดสูงสุด กับต่ำสุดครับ และลอง take lim เข้าใกล้ อินฟินิตี้ดู ทั้งสองข้าง จะเข้าใกล้ 1

ขอละเอียดเลยได้ไหมครับ

[-InnoXenT-]

จาก $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ ---> $f(x) = 1+\frac{x}{x^2+1}$ จะได้ง่ายต่อการดิฟ

$f'(x) = \frac{1-x^2}{x^2+1}$ จะรู้ว่า จุดวิกฤติ คือ จุด $x=1,-1$

$f''(x) = \frac{-2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}$

$f''(1) < 0$ และ $f''(-1) > 0$ ดังนั้น Relative Maximum อยู่ที่ $(1,f(1))$ และ Relative Minimum อยู่ที่ $(-1,f(-1))$ หรือก็คือจุด $(1,\frac{3}{2})$ และ $(-1,\frac{1}{2})$ ตามลำดับ

จากนั้น ลอง take lim เข้าใกล้ อินฟินิตี้ทั้งฝั่งลบ และบวกดู จะได้ว่า

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x+1}{x^2+1} = \lim_{x to -\infty} \frac{x^2+x+1}{x^2+1} = 1$$

ลองวาดกราฟดูก็ได้ครับ