ขอโจทย์ Am-Gm Cauchy

[Siren-Of-Step]

ตามหัวข้อเลยครับ เอาแบบ เด็กฝึกหัด ก่อน ประมาณว่า Lv.1-2 อะครับ Max Level คือ 10 นะครับ

[Ne[S]zA]

เอาง่ายๆก่อนนะ
1.Let $w,x,y,z,\in\mathbb{R} ^+$ and $wxyz=1$
Prove that
$$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$
2.Let $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R} ^+$ and $x_1x_2x_3...x_n=1$
Prove that
$$\prod_{k= 1}^{n-1} (x_k+\sqrt{x_{k+1}})\geqslant \dfrac{2^{n-1}}{\sqrt{x_n\sqrt{x_1}}}$$

[nooonuii]

3. $a,b,c\geq 0$

$(a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3)\geq 27(abc)^2$

[Keehlzver]

http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=7772&page=2
ความยากเรียงตามเลขข้อ 1-10 เลขครับ ดูกระทู้เก่าอื่นๆก็ช่วยได้เยอะเหมือนกันครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3357 เเต่กระทู้นี้คุณเข้าไปดูเเล้ว ถ้าไม่ดูเฉลยเเล้วยังทำได้หมดก็ถึงเวลาอัพเลเวลเเล้วละครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

3. $a,b,c\geq 0$

$(a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3)\geq 27(abc)^2$

Am-Gm
$a+b^2+c^3 \geqslant 3\sqrt[3]{ab^2}c$
$a^3+b+c^2 \geqslant 3\sqrt[3]{bc^2}a$
$a^2+b^3+c \geqslant 3\sqrt[3]{ca^2}b$

จับมาคูณกัน จะได้
$(a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3) \geqslant 27(abc)^2 $

[Siren-Of-Step]

[quote='Ne[S]zA;85165']เอาง่ายๆก่อนนะ
1.Let $w,x,y,z,\in\mathbb{R} ^+$ and $wxyz=1$
Prove that
$$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$

$w+\sqrt{x} \geqslant 2\sqrt{w\sqrt{x}}$
$x+\sqrt{y} \geqslant 2\sqrt{x\sqrt{y}}$
$y+\sqrt{z} \geqslant 2\sqrt{y\sqrt{z}}$
$z+\sqrt{w} \geqslant 2\sqrt{z\sqrt{w}}$

จับคูณกัน และจาก เงื่อนไข $wxyz = 1$
$$(w+\sqrt{x})(x+\sqrt{y})(y+\sqrt{z})(z+\sqrt{w})\geqslant 16$$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ขอลง ของพี่ ๆ ลงในกระทู้นะครับ เพื่อให้ดูง่าย
ทิ้งโจทย์ไว้ให้คิดครับ ตัวเเปรทุกข้อเป็นจำนวนจริงบวกนะครับ

1) $abc \geq 3\sqrt{3}$ เมื่อ $abc \geq a+b+c$
2) $\sum_{cyc}x^2 \geq \sum_{cyc}xy$
3) $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$
4) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}a^2b$
5) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}ab^2$
6) $\Pi_{cyc}(a-1+\frac{1}{b}) \leq 1$ เมื่อ $abc=1$
7) $\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}} \geq \frac{4}{3}$ เมื่อ $abc=8$
8) $\sum_{cyc}\sqrt{x+yz} \geq \sqrt{xyz}+\sum_{cyc}\sqrt{x}$ เมื่อ $\sum_{cyc}\frac{1}{x}=1$
9) $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{1+a_i} \leq \frac{\sum_{i = 1}^{n}a_i+n}{4}$ เมื่อ $a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n=1$
10) $\sum_{cyc}\sqrt{x} \geq \sum_{cyc}xy$ เมื่อ $x+y+z=3$
$

ข้อ 1 ผมทำไม่ได้ ๆ

มาดูข้อ 2 เห็นว่ามันง่ายกว่า

$\sum_{cyc}x^2 \geq \sum_{cyc}xy$
$x^2+y^2 \geqslant 2xy$
ใช้ am-gm

ข้อ 3
$\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$
$\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{b^3}{ac} +\dfrac{c^3}{ab} \geqslant a+b+c$
$\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc} +\dfrac{a^4}{abc} \geqslant a+b+c$

จาก Am-Gm
$\dfrac{\dfrac{a^4+b^4}{abc}}{2} \geqslant \dfrac{a^2b^2}{abc}$
.
.
จะได้ $\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{a^3}{bc} +\dfrac{a^3}{bc} \geqslant \dfrac{ab}{c}+ \dfrac{bc}{a}+ \dfrac{ab}{c}$
ใช้ Am-Gm อีกรอบ
จะได้ $\dfrac{\dfrac{ab}{c}+ \dfrac{bc}{a} }{2} \geqslant b$
.
.
เอามาบวกกัน จะได้ $\sum_{cyc}\frac{a^3}{bc} \geq \sum_{cyc} a$

[Keehlzver]

ของคุณ Ne[S]zA $RHS$ ต้องเป็น $\frac{1}{\sqrt{x_n\sqrt{x_1}}}$ ไม่ใช่เหรอครับ?

ข้อ $1$ ใช้ AM-GM เเบบ $3$ พจน์ $a+b+c\geq(abc)^{\frac{1}{3}}$ เเล้วใช้เงื่อนไขที่โจทย์ให้มา

โจทย์ข้อ $3$ ใช้ AM-GM ต่อเดียวก็ได้ครับ $\sum_{cyc}[\frac{a^3}{bc}+b+c]\geq\sum_{cyc}3a$ ใช้ AM-GM เเบบ $3$ พจน์ เเล้วย้าย $2(a+b+c)$ ไปลบกับ $3(a+b+c)$ ได้ $RHS$ พอดี

ทำโจทย์อสมการทุกข้อลองหาดูด้วยว่าอสมการเป็นสมการเมื่อไรด้วยนะครับฝึกๆไว้

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ของคุณ Ne[S]zA $RHS$ ต้องเป็น $\frac{1}{\sqrt{x_n\sqrt{x_1}}}$ ไม่ใช่เหรอครับ?

จริงด้วยครับ ขอบคุณครับ
ปล.แต่งโจทย์ไปไม่ได้ทดก็เป็นงี้แหละครับ เหอะๆ

[nooonuii]

1) $abc \geq 3\sqrt{3}$ เมื่อ $abc \geq a+b+c$

ใช้ AM-GM กับก้อนทางขวาหรือยัง

[Siren-Of-Step]

ข้อ 3 ผมถูกไหมครับ

4) $\sum_{cyc}a^3 \geq \sum_{cyc}a^2b$

กระจายออกมา $a^3 +b^3 \geqslant a^2b + ab^2$
Am-Gm

$\sum_{cyc}\dfrac{2a^3+b^3}{3}\geqslant\sum_{cyc} a^2b$

จะได้ ตามที่ต้องการ

จะเป็นสมการได้ก็ต่อเมื่อ $a=b$

ข้อ 5 มันต่างอะไรจาก ข้อ 4หรอครับ

[Siren-Of-Step]

ขอถามเพิ่มหน่อยครับ ช่วยข้อนี้หน่อยครับ

find the minimum of
$ \left(\frac{x_{1}^{2}+4}{2x_{1}}\right)+\left(\frac{x_{2}^{2}+9}{2x_{2}}\right)+\cdots+\left(\frac{x_{n}^{2}+n^{2}+2n+1}{2x_{n}} \right) $

[nooonuii]

ข้อ 4 มันเป็น cyclic sum นะครับ ไม่ใช่ symmetric sum

4. $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

5. $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$

[nooonuii]

เพิ่มให้อีกข้อ

11. $a,b,c>0$

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geq\dfrac{9}{ab+bc+ca}$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 4 มันเป็น cyclic sum นะครับ ไม่ใช่ symmetric sum

4. $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$

5. $a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2$

ข้อ 4

$\dfrac{2a^3+b^3}{3} \geqslant a^2b $
$\dfrac{2b^3+c^3}{3} \geqslant b^2c$
$\dfrac{2c^3+a^3}{3} \geqslant c^2a$

บวกกันได้ ตามต้องการ อสมการจะเป็นสมการ เมื่อ $a=b=c$

ข้อ 5
$\dfrac{a^3+2b^3}{3} \geqslant ab^2 $
$\dfrac{b^3+2c^3}{3} \geqslant bc^2$
$\dfrac{c^3+2a^3}{3} \geqslant ca^2$

บวกกันจะได้ ตามที่ต้องการ อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b=c$