โจทย์ปัญหา เรื่อง limit ครับ

[sck]

ช่วยเขียนวิธีคิดด้วยนะครับ

[gon]

ข้อ 1) ให้ \[y = \lim_{n \to \infty}(3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \ln y = \ln (\lim_{n \to \infty}(3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} ) \]
\[= \lim_{n \to \infty} \ln (3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} \]
\[= \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \ln(3^n + 5^n + 7^n + 9^n) \]
ซึ่งอยู่ในรูปแบบ \(\frac{\infty}{\infty} \) โดยกฏของโลปิตาลจะได้
\[= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n + 5^n + 7^n + 9^n}(3^n \ln 3 + \cdots 9^n \ln 9) \]
นำ \(9^n \) หารทุกพจน์ จะได้ว่า ค่าของลิมิต คือ \( \ln 9 \)
นั่นคือ \[y = 9 \]

[gon]

ข้อ 2) สมมติให้ x = -y จะได้ว่า \[\lim_{x \to -\infty} = \lim_{y \to \infty} \]
เมื่อแทนค่าจะได้ว่า โจทย์สมมูลกับ (ตรวจด้วยครับ รีบเขียน)
\[\lim_{y \to \infty} \frac{3(5^{-y}) + 2(5^y)}{5(5^{-y}) - 5(5^y)} \]

จากนั้นนำ \(5^y \, \)หารทุกพจน์จะได้ว่า ลิมิตคือ \(-\frac{2}{5} \) (ถ้าแทนไม่ผิด)

ปล. ข้อ 3 แก้ไขโจทย์ให้ถูกก่อนครับ.

[nooonuii]

โจทย์ข้อ 1 สวยดีครับ

[sck]

ขอบคุณครับสำหรับคำตอบ
ข้อ 3 พิมพ์โจทย์ผิดจริงๆ ด้วย แก้ให้แล้วครับ

[gon]

ไม่เข้าใจว่าจะเขียน +n +n ทำไม ยังไม่ได้ลองคิดดูนะครับ แต่ดูจากโจทย์ถ้าจะให้เดา ผมว่าน่าจะแต่งโจทย์เป็น \[\sqrt{n^2 - n + 1} + \sqrt{n^2 + 1} - 2n \]อะไรแบบนี้ หรือเปล่า

[sck]

โจทย์ที่ได้มาเป็นอย่างนี้จริงๆ ครับ ซึ่งผมก็ดูแล้วไม่เข้าใจเหมือนกันว่าเขียน +n+n แยกกันทำไม หรือว่าโจทย์พิมพ์ผิด ผมก็ไม่รู้ครับ

[gon]

ถ้าเป็นโจทย์อย่างที่คุณ sck ว่ามาจริง ๆ ข้อนี้ก็คงไดเวอร์จล่ะครับ แต่ถ้าเป็นอย่างที่ผมว่ามาก็คงได้ -1/2

[sck]

ขอบคุณ คุณ gon ครับสำหรับคำตอบ
ยังไง ก็ฝากดูอีกข้อแล้วกันนะครับ
โจทย์ทั้ง 2 ข้อได้มาจากหนังสือเรียน ของเตรียมอุดมนะครับ
ข้อนี้ก็มี + n + n เหมื่อนกันครับ

[gon]

ถ้าเป็นแบบนี้ไม่มีปัญหาครับ คือแยกเป็น
\[(\sqrt{4n^2 + 1} - 2n) + (\sqrt{n^2 + 2n} - n) \]
แล้วก็นำคอนจุเกตของแต่ละวงเล็บมาคูณทั้งเศษและส่วนครับ.

[gnopy]

ผมว่าข้อ3หาค่าได้นะ $ \sqrt{n^2+n+n} $ - $ \sqrt{n^2+1} $ - 2n
แยกได้เป็น $ \sqrt{n^2+2n} $ - n - ($ \sqrt{n^2+1} $ - n )
เอาคอนจูเกตของทั้งสองตัวคูณ จัดรูป จะได้
$\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n }$ - $\frac{1}{\sqrt{n^2+1} - n }$
จากนั้นก็เอา n หารตลอด แล้วจะได้คำตอบเป็น 1 ครับผม
solution by gnopy 55+

[gnopy]

โทษทีครับก้อนหลังมันไดเวอร์เจ็นไปแล้ว สรุปว่าโจทย์ผิดอิอิ

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 2) สมมติให้ x = -y จะได้ว่า \[\lim_{x \to -\infty} = \lim_{y \to \infty} \]
เมื่อแทนค่าจะได้ว่า โจทย์สมมูลกับ (ตรวจด้วยครับ รีบเขียน)
\[\lim_{y \to \infty} \frac{3(5^{-y}) + 2(5^y)}{5(5^{-y}) - 5(5^y)} \]

จากนั้นนำ \(5^y \, \)หารทุกพจน์จะได้ว่า ลิมิตคือ \(-\frac{2}{5} \) (ถ้าแทนไม่ผิด)

ปล. ข้อ 3 แก้ไขโจทย์ให้ถูกก่อนครับ.

ลองแทน x ด้วย -x มันจะง่าย แล้วคิดปกติ

[เด็กแพทย์ แต่ชอบเลข]

ขอเสนอวิธีใหม่
2n+\sqrt{x} 3n

[Mathopolis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 1) ให้ \[y = \lim_{n \to \infty}(3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow \ln y = \ln (\lim_{n \to \infty}(3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} ) \]
\[= \lim_{n \to \infty} \ln (3^n + 5^n + 7^n + 9^n)^{\frac{1}{n}} \]
\[= \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \ln(3^n + 5^n + 7^n + 9^n) \]
ซึ่งอยู่ในรูปแบบ \(\frac{\infty}{\infty} \) โดยกฏของโลปิตาลจะได้
\[= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n + 5^n + 7^n + 9^n}(3^n \ln 3 + \cdots 9^n \ln 9) \]
นำ \(9^n \) หารทุกพจน์ จะได้ว่า ค่าของลิมิต คือ \( \ln 9 \)
นั่นคือ \[y = 9 \]

ไม่ทราบว่าตรงที่ใช้ L'Hospital เนี่ย ไอ้เจ้า $\frac{1}{n}$ มันหายไปไหนอ่ะครับ