อยากรู้ความหมายของคำว่า...

[kongp]

สงสัยคำต่อไปนี้ครับ

- transcendental
- Monoid
- Extension Field

คำเหล่านี้มาจากวิชา Abstract Algebra ก็จริง แต่ก็อยากได้คำอธิบายง่ายๆ ครับ ว่าเพื่ออะไร ไม่เอาคำอธิบายที่อ้างอิงศัพท์ทางคณิตที่ต้องตีความอีก

คงต้องอาศัยผู้ที่เคยประยุกต์ใช้วิชา Algebra มาอธิบายแล้วละงานนี้

[choi_sai]

ไม่ทราบครับ ไม่เคยอ่าน text math อ่ะ

[t.B.]

ผมเคยเจอแต่คำว่า transcendental function แปลว่าฟังก์ชั่นอดิสัย ครับ ซึ่งก็คือฟังก์ชั่นใดๆที่ไม่ใช่ฟังก์ชั่น polynomial

[Anarist]

- Monoid คือ group ที่ไม่ต้องมี inverse ครับ ตัวอย่างเช่น $\mathbb{Z}$ under multiplication

- Field extension (of $K$) คือ field $L$ ที่ $K$ เป็น subfield ของ L (แปลว่า K เป็นสับเซตของ L และมีสมบัติปิดภายใต้การบวกและคูณ) ส่วนใหญ่จะเขียนแทนด้วย $L/K$ ตัวอย่างเช่น $\mathbb{C}/\mathbb{R}$,$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$,$\mathbb{Q}[ \sqrt{2}]/\mathbb{Q}$.

- Transcendental นี่เป็น concept ต่อจาก field extension คือสมมติก่อนว่า $L/K$ จะเรียก $a \in L$ ว่า algebraic ถ้า $a$ เป็นรากของพหุนามใน $K[x]$ จากนั้นจึงเรียก $b \in L$ ว่า transcendental ถ้ามันไม่ algebraic.
Field extension $L/K$ เรียกว่า algebraic ถ้าทุกตัวใน $L$ is algebraic. แต่ถ้ามีตัวใน $L$ ที่ไม่ algebraic ก็เรียก $L/K$ ว่า transcendental ตัวอย่างเช่น
$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ algebraic เพราะ $i$ เป็นรากของ $x^2 + 1$
$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ transcendental เพราะ $e$ ไม่เป็นรากของพหุนามใดๆใน $\mathbb{Q}[x]$
$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\mathbb{Q}$ algebraic เพราะ $\sqrt{2}$ เป็นรากของ $x^2 - 2$
ปกติเวลาพูดลอยๆ transcendental จะหมายถึง $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ น่ัะครับ เราจึงเรียกว่า $e, \pi$ ว่า transcendental number

[Onasdi]

ขอบคุณสำหรับความรู้ครับ