Determinant

[BLACK-Dragon]

เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลานเมื่อปีที่แล้วครับ

ให้ A เป็น matrix ขนาด $3 \times 3$ โดยที่ $A^3$= 0 และ $A^2 \not=$ 0 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

1.) A ไม่มี $A^{-1}$
2.) $\det(I-A) \not=$ 0 โดยที่ I เป็น matrix เอกลักษณ์ขนาด $3 \times 3$

ข้อไหนเป็นจริงบ้างครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

เป็นข้อสอบสมาคม ม.ปลานเมื่อปีที่แล้วครับ

ให้ A เป็น matrix ขนาด $3 \times 3$ โดยที่ $A^3$= 0 และ $A^2 \not=$ 0 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

1.) A ไม่มี $A^{-1}$
2.) $\det(I-A) \not=$ 0 โดยที่ I เป็น matrix เอกลักษณ์ขนาด $3 \times 3$

ข้อไหนเป็นจริงบ้างครับ

$A^3= \underline{0}\rightarrow detA^3=\underline{0} \rightarrow detA=0\rightarrow \therefore A$ ไม่มี $A^{-1}$


$A^3= \underline{0}$

$A^3-I^3=-I^3$

$(A-I)(A^2+A+I)=-I^3$

$det(A-I)det(A^2+A+I)=det(-I^3)=-1$

$\therefore det(A-I)\not= 0$

$\therefore det(I-A)\not= 0$

[BLACK-Dragon]

อันที่ 2 ได้เหมือนกันครับ

แต่อันแรกผมติดตรง $A^2 \not= \underline{0}$

$\det A^2 \not \underline{0}$

$\det A \not= \underline{0}$

แต่จาก $A^3= \underline{0}$ มันได้ $\det A=0$

อีกข้อครับ

A,B,C,D เป็น matrix ขนาด $5\times 5$ โดย $\det A=2 , \det B=3 ,\det C=4$ และ
$adj(adj(AB))=108CD$ จงหา $\det C$

ผมทำโดย $X^{-1} = \dfrac{1}{\det X} \cdot adj (X)$

แล้วก็เอาไปแทน

$adj(adj(AB)) = adj ( (AB)^{-1} \det AB)$

$= 6 adj((AB)^{-1})$ ตรงนี้ผมไม่ค่อยแน่ใจครับ ผมคิดว่า adj เป็นเมตริกซ์ เมตริกซ์หนึ่ง จึงสามารถดึงออกมาได้

$= AB$

$AB=108CD$

$\det(AB)=\det (108CD)$

แต่มันไม่มีในช้อยส์อ่ะครับ

[lek2554]

$A^2\not= \underline{0}$ แต่ $detA=0$ ได้ครับ

$\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} ^2=\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} =\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \rightarrow det=0$
...........................................................................

$adj(kA)=det(kA)(kA)^{-1}=(k^ndetA)(k^{-1}A^{-1})=k^{n-1}adjA$

[BLACK-Dragon]

#4 ขอบคุณมากครับ

#5 ทำไมหรอครับ ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

#4 ขอบคุณมากครับ

#5 ทำไมหรอครับ ?

จะมาบอกเหมือน #4 ครับ

[BLACK-Dragon]

สรุปคือ ถ้า $ A^n = \underline{0}$ มันจะสามารถสรุปได้ว่า $\det A=0$

แต่ $A^n \not= \underline{0}$ ไม่สามารถไปสรุปได้ว่า $\det A \not= 0$ แบบนี้หรอครับ

ขอโจทย์อีกได้ไหมครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

เอาคล้ายๆกับข้อแรกนะครับ

ให้ A เป็นเมทริกซ์ 3x3 โดย $ A^3$=0 , $A^2 \not=$ 0

จงแสดงว่า $det(I+A+A^2)\not=$ 0

เมื่อ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ 3x3

[BLACK-Dragon]

มันต่างอะไรจากข้อแรกหรอครับ ?

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

= ="

[BLACK-Dragon]

ผมไม่ได้จะว่าอะไรหรอกครับ อย่าคิดมาก

ผมพึ่งอ่าน เรื่อง matrix เมื่อกลางวันนี้เอง เลยไม่รู้จริง ๆว่ามันต่างกันหรือเปล่า

ผมเลยถามครับ ผมค่อยเก่ง

อย่าคิดมากครับ ผมขอโทษที่พิมพ์ไปแบบ ผมผิดเองแหละ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$A^2\not= \underline{0}$ แต่ $detA=0$ ได้ครับ

$\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} ^2=\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} =\bmatrix{1 & 0 \\ 1 & 0} \rightarrow det=0$
...........................................................................

$adj(kA)=det(kA)(kA)^{-1}=(k^ndetA)(k^{-1}A^{-1})=k^{n-1}adjA$

ผมไม่เข้าใจตรงนี้หน่ะครับ

ในการหา det

$det(A^k)=(detA)^k$ , k เป็นจำวนเต็มบวก

ใช้สูตรนี้กับข้อมูล $A^3 \not= $0

take det เข้าไป ; $det(A^3)=(detA)^3\not =$det(0)=0

จะได้ว่า $detA\not = 0$




ใช้สูตรนี้กับข้อมูล $A^2=$0

take det เข้าไป ; $det(A^2)=(detA)^2$=det(0)=0

จะได้ว่า detA=0

ซึ่งขัดแย้งกัน

ทีนี้ ที่คุณ lek2554 ยกตัวอย่างมา คือตัวอย่างค้านของ detA=0

อยากจะถามว่า

1.ทำไมใช้สูตรกับข้อมูลที่โจทย์ให้มาทั้งสอง แล้วได้ผลลัพธ์ไม่เหมือนกัน

2.คุณ lek2554 ได้ยกตัวอย่างค้าน detA=0 แล้วคุณ lek2554 สามารถทราบได้อย่างไรว่า ไม่มีตัวอย่างค้านของ $detA\not = 0$

[lek2554]

ถ้า $A=B$ แล้ว $detA=detB$ ข้อความนี้ถูก

ถ้า $A\not= B$ แล้ว $detA\not= detB$ ข้อความนี้ผิดครับ

ถ้า $A\not= B$ แล้วไม่สามารถสรุปได้ว่า $detA\not= detB$ ครับ ตัวอย่างเช่น

$A=\bmatrix{1 & 1 \\ 1 & 1} , B=\bmatrix{2 & 2 \\ 2 & 2}$

$A\not= B$ แต่ $detA=detB$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

อ่อ พอเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ