เรขาคณิตวิเคราะห์และเมทริกซ์

[BLACK-Dragon]

1.กำหนด $A=[a_{ij}]$ ถ้า $\det(A)=-81$ และ
$adj(A)=-9\bmatrix{3 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2} $ แล้ว $a_{11}-a_{21}-a_{31}$ มีค่าเท่าใด

2. หาพื้นที่ส่วนที่ทับกันของ $x^2+3y^2 \leq 1$ และ $3x^2+y^2 \leq 1$

ปล. ผมขอวิธีคิดไม่เกิน 2 นาทีได้ไหมครับมันเป็น speed test น่ะครับ

[Euler-Fermat]

1.ผมไม่มั่นใจว่าเร็ว หรือเปล่านะครับ

$adj(adj(A)) = det(A)^{n-2}A$

หา $A$ ได้

[กิตติ]

ข้อ2....สมการเป็นวงรีสองวงที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด วงแรกวงรีแนวนอน วงสองเป็นวงรีแนวตั้ง หาจัดตัดก่อน
$x^2+3y^2=1$
$3x^2+y^2=1$
$x^2+3y^2=3x^2+y^2$
$x^2-y^2=0 \rightarrow (x-y)(x+y)=0 $
$x=\pm \frac{1}{2} ,y=\pm \frac{1}{2}$
ได้จุดตัดสี่จุด $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
ไม่รู้ว่าจะต้องใช้แคลคูลัสในการหาพื้นที่ที่เกิดขึ้นด้วยการอินทริกรัลสมการวงรี เลือกมาหนึ่งสมการจากค่า $x=-\frac{1}{2}$ จนถึง $x=\frac{1}{2}$
ผมยังนึกวิธีอื่นไม่ออก

ลองทำให้จบ ไม่รู้ว่าจะถูกไหม ลองคลำดูจากebookของคุณคณิต
$y^2=1-3x^2 \rightarrow y=\pm \sqrt{1-3x^2} $
เลือกคิดจากครึ่งบนแล้วกัน $y= \sqrt{1-3x^2} $
จากสูตรอินทริกรัลถ้าเราเลือกหาพื้นที่จาก $x=-\frac{1}{2}$ ไปถึง $x=\frac{1}{2}$ จะหาค่าไม่ได้ เพื่อความง่ายคิดพื้นที่จาก $x=0$ ถึง $x=\frac{1}{2}$ แล้วคูณสองเพราะมันสมมาตรกัน

$f(x)=\sqrt{1-3x^2}$
$\int \,f(x)dx=\sqrt{(1-3x^2)^3} \times \frac{2}{3} $
$\int_{0}^{\frac{1}{2} }\,f(x)dx =\frac{2}{3}\times \sqrt{(1-3(\frac{1}{2})^2)^3}=\frac{1}{12} $

พื้นที่หนึ่งส่วนเท่ากับ $\frac{1}{12}$
พื้นที่ที่โจทย์ถามเท่ากับสี่ส่วน เท่ากับ $\frac{1}{3}$

[polsk133]

1. จาก $adj(A)=(det(A))(A^{-1})$

ได้ $adj(A^{-1})=(det(A^{-1}))(A)$ เมื่อ det(A)ไม่่เป็น0

[BLACK-Dragon]

#4 จะหา $adj(A^{-1})$ ยังไงหรอครับ ?

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

#4 จะหา $adj(A^{-1})$ ยังไงหรอครับ ?

$adj(A^{-1})$ มันไม่ได้เท่ากับ $[adj(A)]^{-1}$ หรอครับ

ถ้ามันไม่เท่ากัน ก็คงต้องของวิธีของคุณ ออยเลอแฟมา แล้วแหละครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 2 อีกแบบครับ
[ATTACH] 12442 [/ATTACH]

ให้ $A=(x_1,0) , B=(x_2,0)$
$f$ เป็นฟังก์ชันของวงรี (เอาแค่ครึ่งบน) แกนเอก $a$ แกนโท $b$
$g$ เป็นฟังก์ชันของวงกลม (เอาแค่ครึ่งบนเช่นกัน)
พิจารณา
$f(x) = \dfrac{b}{a}g(x)$
$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx = \dfrac{b}{a}\int_{x_1}^{x_2} g(x)\,dx$

คราวนี้ถ้าเป็นพื้นที่ ต้้งแต่ $x_1$ ถึง $x_2$ ของวงกลมก็หาได้แล้ว

อันนี้คือเขียนพิสูจน์ก่อนครับ
พอไป speed test จริงถ้าเรารู้ ว่า $\dfrac{|ABFE|}{|ABDC|} = \dfrac{a}{b}$ โจทย์ก็กลายเป็นเรขาวิเคราะห์แล้วครับ

[Thgx0312555]

ข้อ 1 วิธีนี้ ไม่มั่นใจเหมือนกันว่าเร็วพอไหม ใช้คุณสมบัติว่า $A^{-1}\times A=I$

แล้วก็แก้สมการสามตัวแปร
$3a_{11} + 3a_{21} - a_{31} = 9$ (1)
$a_{11} - a_{21} + 2a_{31} = 0$ (2)
$2a_{11} + a_{21} + 2a_{31} = 0$ (3)

(1)+2*(2)-2*(3); $a_{11} - a_{21} - a_{31} = 9$ (3)

[กิตติ]

เคยมีคนถามถึงพื้นที่วงรีไว้นานแล้ว คุณPuriwattตอบได้อย่างเข้าใจง่ายๆ

หาพื้นที่วงรี