ช่วยทีครับ max min ของจำนวนเชิงซ้อน

[Oriel]

ให้ $|z-3-2i|=1$ จงหา ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ$|z+1+i|$
ข้อนี้ผมใช้อสมการแก้อะครับ

จาก $$|z-3-2i|=|z+1+i+(-4-3i)|$$
$$\because |z+w|\leqslant |z|+|w|$$
$$\therefore |z+1+i+(-4-3i)|\leqslant |z+1+i|+|-4-3i|$$
$$1\leqslant |z+1+i|+5$$
$$|z+1+i|\geqslant -4$$

จาก $$|z-3-2i|=|z+1+i-(4+3i)|$$
$$\because |z-w|\geqslant |z|-|w|$$
$$\therefore |z+1+i-(4+3i)|\geqslant |z+1+i|-|4+3i|$$
$$1\geqslant |z+1+i|-5$$
$$|z+1+i|\leqslant 6$$

ผมอยากทราบว่า วิธีนี้เป็นที่ยอมรับรึปล่าวครับ เห็นส่วนใหญ่เค้าใช้กราฟกัน

[gon]

ข้อนี้คำตอบได้เท่ากัน แต่โดยสามัญสำนึก ผมคิดว่าน่าจะเป็นจริงแค่บางกรณี

ในกรณีอื่นน่าจะได้ขอบเขตที่กว้างไป

ซึ่งอันนี้ผมยังไม่ได้ลองแต่งโจทย์ที่จะทำให้วิธีการแบบนี้ผิดพลาดนะครับ

เดี๋ยวขอผมหาเวลาแต่งโจทย์ก่อน.

[Oriel]

โอ้ขอบคุณครับ
ว่าแต่มันเพี้ยนๆตรงที่ว่า $|z-w|\geqslant |z|-|w|$
แต่ $$|z-w|=|-(w-z)|=|w-z|\geqslant |w|-|z|$$
$$\therefore |z-w|\geqslant |w|-|z|$$
แต่เราต้องการเฉพาะค่าที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เท่านั้นอ่าครับ...

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

ให้ $|z-3-2i|=1$ จงหา ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ$|z+1+i|$
ข้อนี้ผมใช้อสมการแก้อะครับ

$$1\leqslant |z+1+i|+5$$
$$|z+1+i|\geqslant 4$$

จริงรึ

[nooonuii]

แนวคิดถูกแล้วแต่ยังเริ่มผิดที่

$|z+1+i|=|z-3-2i+4+3i|\leq |z-3-2i|+|4+3i|=6$

$|z+1+i|=|4+3i+z-3-2i|\geq |4+3i|-|z-3-2i|=4$

[Oriel]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

จริงรึ

โอ้ ลืมครับ

ว่าแต่...เราสามารถสรุปได้เลยไหมว่า $|z+1+i|\geqslant 4$ จะได้ $|z+1+i|$ มีค่าต่ำสุดคือ $4$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel

โอ้ ลืมครับ

ว่าแต่...เราสามารถสรุปได้เลยไหมว่า $|z+1+i|\geqslant 4$ จะได้ $|z+1+i|$ มีค่าต่ำสุดคือ $4$

$|z+1+i|\geqslant 4$ อันนี้สรุปได้ครับ

แต่สรุปค่าต่ำสุดต้องทำอะไรอีกนิดหน่อย

เราต้องหา $z$ ที่ทำให้ $|z+1+i|= 4$ โดยที่ $|z-3-2i|=1$ ด้วย

จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า

$z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$

แทนลงไปในสมการ $|z+1+i|=4$ จะได้ว่า $|\lambda+1|=\dfrac{4}{5}$

ดังนั้น $\lambda=-\dfrac{1}{5},-\dfrac{9}{5}$ แต่ $-\dfrac{9}{5}$ ใช้ไม่ได้(ทำไม?)

จึงเลือก $z-3-2i=-\dfrac{1}{5}(4+3i)$ ก็จะได้ว่าค่าต่ำสุดเป็น $4$ จริงๆ

[Oriel]

เปลี่ยนจาก$$|z-w|\geqslant |z|-|w|$$
เป็น $$|z-w|\geqslant ||z|-|w||$$
ได้ไหมครับ

[nooonuii]

ก็ได้เหมือนกันครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แนวคิดถูกแล้วแต่ยังเริ่มผิดที่

$|z+1+i|=|z-3-2i+4+3i|\leq |z-3-2i|+|4+3i|=6$

$|z+1+i|=|4+3i+z-3-2i|\geq |4+3i|-|z-3-2i|=4$

วิธีนี้ยอดเยี่ยมมากครับง่ายกว่าและ เร็วกว่า วิธีใช้กราฟที่ผมใช้ ที่หาระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของ Z คือ (3,2) ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี 1 หน่วย ไปยังจุด (-1,-1) =sqrt((3+1)^2 + (2+1)^2)=5 ระยะห่างจาก z มาที่จุด (-1,-1) ที่สั้นที่สุดและยาวสุด ก็จะอยู่บนจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองนี้ ซึ่งได้ระยะ = 5 - รํศมี และ 5 - รัศมี นั่นคือ 4 และ 6 ตามลำดับ

คุณ noonuii มีวิธีคิดลัดแปลกๆมาแสดงเสมอ เป็นประโยชน์มากครับ ขอบคุณที่มาสร้างปัญญาให้

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$|z+1+i|\geqslant 4$ อันนี้สรุปได้ครับ

แต่สรุปค่าต่ำสุดต้องทำอะไรอีกนิดหน่อย

เราต้องหา $z$ ที่ทำให้ $|z+1+i|= 4$ โดยที่ $|z-3-2i|=1$ ด้วย

จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า

$z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$

แทนลงไปในสมการ $|z+1+i|=4$ จะได้ว่า $|\lambda+1|=\dfrac{4}{5}$

ดังนั้น $\lambda=-\dfrac{1}{5},-\dfrac{9}{5}$ แต่ $-\dfrac{9}{5}$ ใช้ไม่ได้(ทำไม?)

จึงเลือก $z-3-2i=-\dfrac{1}{5}(4+3i)$ ก็จะได้ว่าค่าต่ำสุดเป็น $4$ จริงๆ

ตรงนี้มาจากไหนหรอครับ โปรดชี้แนะ

[nooonuii]

มาจากสมบัติ

$|z+w|=|z|+|w|$ ก็ต่อเมื่อ $z=\lambda w$ บางจำนวนจริง $\lambda$

ความหมายเชิงเรขาคณิตก็คือ $0,z,w$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

มาจากสมบัติ

$|z+w|=|z|+|w|$ ก็ต่อเมื่อ $z=\lambda w$ บางจำนวนจริง $\lambda$

ความหมายเชิงเรขาคณิตก็คือ $0,z,w$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ตรง
จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า

$z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$

$|z-3-2i+4+3i| = |z-3-2i| + |4+3i|$
$4 \not= 1+|4+3i|$
ไม่ใช่หรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ตรง
จากเงื่อนไขการเป็นสมการของอสมการสามเหลี่ยมเราจะได้ว่า

$z-3-2i=\lambda(4+3i)$ สำหรับบางจำนวนจริง $\lambda$

$|z-3-2i+4+3i| = |z-3-2i| + |4+3i|$
$4 \not= 1+|4+3i|$
ไม่ใช่หรอครับ

ลืมไปว่าอันนี้ต้องเป็นของอีกอสมการนึง

$|z-w|\geq |z|-|w|$

สมการเกิดแบบเดียวกับอสมการก่อน