ฟังก์ชันครับ (สมการเชิงฟังก์ชัน)

[truetaems]

A real - valued function f defined for nonzero real numbers satisfies
$f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x)$ = $2x$
What is the value of f(2)?
a. 2.5
b. 3
c. 3.5
d. 4
e. 4.5

ไม่รู้ว่าจะเริ่มแทนค่า x ตรงไหนก่อนเลยครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

A real - valued function f defined for nonzero real numbers satisfies
$f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x)$ = $2x$
What is the value of f(2)?
a. 2.5
b. 3
c. 3.5
d. 4
e. 4.5

ไม่รู้ว่าจะเริ่มแทนค่า x ตรงไหนก่อนเลยครับ

สมการเชิงฟังก์ชันแบบพื้นฐานเลยครับ.

แทน $x$ ด้วย $-\frac{1}{x}$ จากนั้นก็นำสองสมการมาแก้หาหาค่าของ $f(-x)$

[truetaems]

ผมมองไม่ออกว่าจะแทนค่า x อะไรดีเลยลองทำดู ที่ไม่แน่ใจ คือ ที่กาสีแดงไว้สามารถทำได้ไหมครับ??

[polsk133]

ยังไม่ใช่ครับ เช่น $f(x)=|x|$

จะได้ $f(1)=1=f(-1)$ ซึ่ง -1 ไม่เท่ากับ 1

ปล.เป็นเหมือนผมตอนแรกเลย

[truetaems]

แล้ววิธีการที่ถูกต้อง เป็นอย่างไรครับ บางครั้งลองแทนค่า x ที่เหมาะสมดูบางครั้งก็ดูไม่ออกจริงๆครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

A real - valued function f defined for nonzero real numbers satisfies
$f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x)$ = $2x$
What is the value of f(2)?
a. 2.5
b. 3
c. 3.5
d. 4
e. 4.5

ไม่รู้ว่าจะเริ่มแทนค่า x ตรงไหนก่อนเลยครับ

ผิดครับเดี๋ยวแก้จะเขียนเป็นสีเขียว

แทน $x$ ด้วย $\frac{-1}{x}$

$f(-x)+ \frac{1}{x}(f(\frac{1}{x}))= \frac{-2}{x} -------(1)$

จากสมการแรก คูณด้วย $\frac{1}{x}$

ได้ $\frac{1}{x}f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x^2}(f(-x))=2 ------(2)$

$(2)-(1); (\frac{1}{x^2}-1)(f(-x))=2+\frac{2}{x}$

$f(-x)=\frac{2x}{1-x}=\frac{-2(-x)}{1+(-x)}$

ดังนั้น$f(x)=\frac{-2x}{1+x}$

$f(2)=...$

ผมทำแบบี้แต่คำตอบไม่มีในช้อย ผมน่าจะบวกลบคูณหารผิดสักที่ เดี๋ยวมาแก้ครับ

แทน $x$ ด้วย $\frac{-1}{x}$

$f(-x)+ -x(f(\frac{1}{x}))= \frac{-2}{x} -------(1)$

จากสมการแรกคูณด้วย x ได้

$xf(\frac{1}{x})+f(-x)=2x^2 ----(2)$

$(1)+(2); 2f(-x)=2x^2-\frac{2}{x}$

$f(x)=x^2+\frac{1}{x}$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

แทน $x$ ด้วย $\frac{-1}{x}$

$f(-x)+ \frac{1}{x}(f(\frac{1}{x}))= \frac{-2}{x} -------(1)$

จากสมการแรก คูณด้วย $\frac{1}{x}$

ได้ $\frac{1}{x}f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x^2}(f(-x))=2 ------(2)$

$(2)-(1); (\frac{1}{x^2}-1)(f(-x))=2+\frac{2}{x}$

$f(-x)=\frac{-2x}{1+x}=\frac{2(-x)}{1-(-x)}$

ดังนั้น$f(x)=\frac{2x}{1-x}$

$f(2)=-4$

ผมทำแบบี้แต่คำตอบไม่มีในช้อย ผมน่าจะบวกลบคูณหารผิดสักที่ เดี๋ยวมาแก้ครับ

ดูสมการ (1) อีกทีครับ

[polsk133]

ขอบคุณครับ ผิดตั้งแต่เริ่มเลย

[truetaems]

ลักษณะโจทย์แบบนี้ รวมถึงข้อเมื่อกี้ที่แทน x ด้วย $-\frac{1}{x}$ มีวิธีการสังเกตว่าจะแทนค่า x อย่างไรครับ

[~ArT_Ty~]

โจทย์ Functional Equation ไม่มีรูปแบบการแทนค่าที่แน่นอนครับ ต้องอาศัยประสบการณ์ในการทำบ่อยๆเข้ามาช่วยด้วยครับ

แต่เวลาแทนค่าด้วยฟังก์ชันใดๆ ต้องพิจารณาในหลายๆอย่างด้วยนะครับ อย่างเช่น ความเป็น 1-1 ในโดเมนกะเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นด้วยนะครับ

ผิดถูกยังไงโปรดชี้แนะด้วยครับ