นิยามของเลขยกกำลัง

[pond27216]

a^n = 1/a^-n
เมื่อ n คืออะไรครับ?
ถ้าเป็นจำนวนเต็มก็ติดเศษส่วนไม่ได้หรอครับ
ถ้าจำนวนจริง
2^sqrt2 ก็ไม่เคยเห็นครับ

[Asuna Jung]

ไม่เข้าใจความหมายค่ะ

[pond27216]

ขอบเขตของnอ่ะครับ
เป็นเซตของอะไร

[Asuna Jung]

2^sqrt2 = 2^(2^1/2) หรือ เป็นเศษส่วนก็ได้ เช่น n^3/2 = n^3*1/2 = (n sqrt2)^3 หรือ (n^3)sqrt2
ขอบเขตของ n เป็นเซตของจำนวนจริง (R)

[kongp]

ลอจิก แบบนี้เพื่ออะไรคับ ? พิสูจน์นิยาม ? คนแก่เรียนจะกลับสู่เบสิคก็ต่อเมื่อได้ผลคุ้มค่าในกรณีเช่นนี้ ใช่มั้ยครับ

[analysisway]

ขอลองอธิบายนะครับ สำหรับเลขยกกำลังนี่ n เป็นจำนวนใดๆก็ตามก็ได้นะครับ
ซึ่งถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกก็จะเป็น a^n = a*a*......*a (คูณกัน n ครั้ง)
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มลบละ มันก็จะกลายเป็น a^(n) แต่เรามีนิยามบอกว่า ถ้า เลขชี้กำลังติดลบ สามารถเปลี่ยนเป็น 1/a^n ได้
จะได้ว่า 1/a^n= 1/(a*a*....*a(จำนวน n ครั้ง))
ถ้า n เป็นเศษส่วนหรือจำนวนตรรกนะ หรือ นั่นคือ n = a/b มันจะหมายความว่า a^(a/b) = รากที่ b ของ a^a
ตัวอย่างเช่น 2^(1/2) = รากที่ 2 ของ 2^1 ครับ ถ้าเป็น 3^(3/5) = รากที่ 5 ของ 3^3
ดังนั้น ในกรณีที่ n เป็น 0 ล่ะ ก็จะได้ว่ส ทุกตัวเป็น 1 ครับ แต่ถ้า 0^0 ไม่นิยาม
ถ้ากรณี n เป็นค่าไม่จำกัด ก็จะได้คำตอบที่ไม่จำกัดด้วยครับ
จากกรณีทั้งหมด สรุปได้ว่า นิยามที่คุณพบอาจจะเป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของนิยาม (อาจจะเป็นเรื่องเลขยกกำลังใน มัธยมที่ 5 รึเปล่า)
ซึ่ง สำหรับผม ผมคาดว่า ขอบเขตของ n จะเป็นจำนวนจริงครับ (ไม่เชื่อคุณลองไปกด 2^(2^(1/2)) ที่คุณถามมาสิครับ มันคือ ตัวที่ผมบอกให้กดนั่นละ และมันมีค่าด้วยครับ แต่เพียงแต่ว่า เลขยกกำลังพิศดารแบบนั้น อาจจะไม่เคยพบได้จริง )

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ analysisway

ขอลองอธิบายนะครับ สำหรับเลขยกกำลังนี่ n เป็นจำนวนใดๆก็ตามก็ได้นะครับ
ซึ่งถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกก็จะเป็น a^n = a*a*......*a (คูณกัน n ครั้ง)
ถ้า n เป็นจำนวนเต็มลบละ มันก็จะกลายเป็น a^(n) แต่เรามีนิยามบอกว่า ถ้า เลขชี้กำลังติดลบ สามารถเปลี่ยนเป็น 1/a^n ได้
จะได้ว่า 1/a^n= 1/(a*a*....*a(จำนวน n ครั้ง))
ถ้า n เป็นเศษส่วนหรือจำนวนตรรกนะ หรือ นั่นคือ n = a/b มันจะหมายความว่า a^(a/b) = รากที่ b ของ a^a
ตัวอย่างเช่น 2^(1/2) = รากที่ 2 ของ 2^1 ครับ ถ้าเป็น 3^(3/5) = รากที่ 5 ของ 3^3
ดังนั้น ในกรณีที่ n เป็น 0 ล่ะ ก็จะได้ว่ส ทุกตัวเป็น 1 ครับ แต่ถ้า 0^0 ไม่นิยาม
ถ้ากรณี n เป็นค่าไม่จำกัด ก็จะได้คำตอบที่ไม่จำกัดด้วยครับ
จากกรณีทั้งหมด สรุปได้ว่า นิยามที่คุณพบอาจจะเป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของนิยาม (อาจจะเป็นเรื่องเลขยกกำลังใน มัธยมที่ 5 รึเปล่า)
ซึ่ง สำหรับผม ผมคาดว่า ขอบเขตของ n จะเป็นจำนวนจริงครับ (ไม่เชื่อคุณลองไปกด 2^(2^(1/2)) ที่คุณถามมาสิครับ มันคือ ตัวที่ผมบอกให้กดนั่นละ และมันมีค่าด้วยครับ แต่เพียงแต่ว่า เลขยกกำลังพิศดารแบบนั้น อาจจะไม่เคยพบได้จริง )

ถ้างั้น 2กำลังsqrt2 ได้เท่าไหร่ครับ คือไม่เคยเห็นเลยสงสัย

[analysisway]

2^(2^(1/2)) = 2.66514414269.. ไปอีกครับ ถ้าเรามอง sqrt 2 = 1.414.... ดังนั้น
ถ้าเป็น 2^1.414 = (2^(1+0.414..))= (2^1)*(2^0.414...)
ดังนั้นจึงได้ค่าประมาณนี้ละครับ ผมจัดว่าใกล้เคียงละ แต่เนื่องจาก sqrt 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจึงหาค่าที่แท้จริงไม่ได้ครับ อาจจะได้แค่ว่าลู่เข้าสู่ค่าไหนหรือประมาณการเอา ในทีนี้
สรุปได้ว่า 2^(2^(1/2)) มีค่าประมาณ 2.665 ครับ

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ analysisway

2^(2^(1/2)) = 2.66514414269.. ไปอีกครับ ถ้าเรามอง sqrt 2 = 1.414.... ดังนั้น
ถ้าเป็น 2^1.414 = (2^(1+0.414..))= (2^1)*(2^0.414...)
ดังนั้นจึงได้ค่าประมาณนี้ละครับ ผมจัดว่าใกล้เคียงละ แต่เนื่องจาก sqrt 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจึงหาค่าที่แท้จริงไม่ได้ครับ อาจจะได้แค่ว่าลู่เข้าสู่ค่าไหนหรือประมาณการเอา ในทีนี้
สรุปได้ว่า 2^(2^(1/2)) มีค่าประมาณ 2.665 ครับ

ขอบคุณครับ $$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ analysisway

แต่เนื่องจาก sqrt 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจึงหาค่าที่แท้จริงไม่ได้ครับ

ค่าที่แท้จริง มีนิยามว่าอย่างไรครับ?

[analysisway]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ค่าที่แท้จริง มีนิยามว่าอย่างไรครับ?

เอิ่มม สำหรับคุณ Amankris ครับ คือ ค่าที่แท้จริงเนี่ย ผมนิยามมาเองฮ่าๆ มันเป้นการกล่าวถึงว่า มันอาจจะมีค่าจริงของมันเล่น เช่น ค่า \pi อาจจะมีค่า 3.14159.. มันเป็นทศนิยมไม่รู้จบนะครับ เลยบอกว่า ค่าที่เรานำมากล่าวอ้างมันเป็นค่าประมาณครับ (อันนี้จะเป็นการกล่าวใน Error Analysis ของ Numerical Analysis น่ะครับ)

[ผู้โง่เขลา]

เสนอว่า ก็เป็นฟังค์ชัน exponential $$f:R\rightarrow R^+$$ ที่นิยาม $$f(x)=a^x$$ โดย $$a>o$$ ครับ ใช่ป่ะครับ?