IWYMIC 2011 บาหลี indonesia

[banker]

SECTION B


รังสี 15 เส้น มีจุดกำเนิดเดียวกัน สามารถสร้างเป็นมุมป้านได้กี่มุม



ตอบ 56

ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

[banker]

ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเป็น 50 ซม., 120 ซม., และ 130 ซม.
จงหาพื้นที่ซึ่งประกอบด้วยจุดทุกจุดที่อยู่ห่างจากด้านของสามเหลี่ยมนี้ทั้งที่อยู่ภายในและภายนอกของสามเหลี่ยมเป็นระยะทาง 2 ซม.
ให้ใช้ค่า $\pi = \frac{22}{7}$



พื้นที่สีเหลือง = $(130\times 2)+(120 \times 2)+(50 \times 2)+(\frac{22}{7} \times 2^2) = 612.57 \ $ตารางเซนติเมตร


ส่วนพื้นที่สีฟ้า = พื้นที่สามเหลี่ยม ABC - พื้นที่สามเหลี่ยมขาวเล็กข้างใน


พื้นที่สามเหลี่ยมขาวเล็กข้างในหาดังนี้
$130 = (AM+MN) + k + (PQ+QB)$ ............(1)

ลาก $DF \bot AC ที่ F, \ \ DN \bot AB ที่ N, \ \ DE // AB, \ \ EM \bot AB ที่ \ M$

$\triangle AME \approx \triangle ABC \ \ \ \frac{AM}{50} = \frac{2}{120} \ \ \ \to \ AM = \frac{50 \times 2}{120} $ ............(2)

$\triangle DEF \approx \triangle ABC \ \ \ \ \frac{ED}{130} = \frac{2}{120} \ \ \ \to ED = \frac{2 \times 130}{120 } = MN$ .....(3)

ทำนองเดียวกัน $(PQ+QB) = \frac{2 \times 130}{50}+ \frac{2 \times 120}{50}$ ........(4)

ดังนั้น $130 = \frac{50 \times 2}{120} + \frac{2 \times 130}{120 } + k + \frac{2 \times 130}{50}+ \frac{2 \times 120}{50}$

$k = 130 - 13 = 117 $

$\dfrac{\triangle ABC}{\triangle k} = \dfrac{130^2}{117^2}$

$\triangle k = (60 \times 50) \times \dfrac{117^2}{130^2} = 2430 \ $ตารางเซนติเมตร

พื้นที่สีฟ้า = $\frac{1}{2} \times 120 \times 50 - 2430$


พื้นที่สีฟ้า = $3000 - 2430= 570 $ ตารางเซนติเมตร

เหลือง + ฟ้า = $612.57 + 570 =1182.57 $ ตารางเซนติเมตร


ถ้าแปลถูก และ บวกลบเลขถูก ก็ตอบแค่นี้ครับ

[banker]

จงหาจำนวนเต็มบวกที่เข้ากับเงื่อนไขต่อไปนี้ มีกี่จำนวน
(1) ประกอบด้วยเลขโดด 8 ตัว ซึ่งเป็น 0 หรือ 1 เท่านั้น
(2) เลขโดดตัวแรก เป็น เลข 1
(3) ผลบวกเลขโดดตำแหน่งคี่ กับตำแหน่งคู่ เท่ากัน


ผลบวกตำแหน่งคี่ กับตำแหน่งคู่ เท่ากับ 1 วางได้ 4 จำนวน
ผลบวกตำแหน่งคี่ กับตำแหน่งคู่ เท่ากับ 2 วางได้ 18 จำนวน
ผลบวกตำแหน่งคี่ กับตำแหน่งคู่ เท่ากับ 3 วางได้ 12 จำนวน
ผลบวกตำแหน่งคี่ กับตำแหน่งคู่ เท่ากับ 4 วางได้ 1 จำนวน

รวม 4 + 18 + 12 + 1 = 35 จำนวน

แปลถูกหรือเปล่า ?

[banker]

ตัวหมากรุกวางบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 ไม่จำกัดขนาดของกระดาน
การเดินของตัวหมากรุกตามกฏดังนี้
1. ครั้งแรก ตัวหมากรุกเดินขึ้นเหนือ 1 ช่อง
2. ตัวที่อยู่ตำแหน่งคี่ขึ้นเหนือหรือลงใต้ ตัวที่อยู่ตำแหน่งคู่ เดินตะวันออก-ตะวันตก
3. ในการเดินครั้งที่ n ตัวหมากรุกเดินเป็นระยะทาง n ช่องในทิศทางเดียวกัน

ตัวหมากรุก เดิน 12 ครั้ง ทำให้ระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของจุดเริ่มต้น และช่องสุดท้าย เล็กที่สุด
ระยะทางที่น้อยที่สุดเท่ากับเท่าไร


นึกภาพไม่ออก

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

SECTION B


รังสี 15 เส้น มีจุดกำเนิดเดียวกัน สามารถสร้างเป็นมุมป้านได้กี่มุม

ผมเอาไอเดียของคุณ banker มาต่อยอดอีกที เป็นรูปนี้ครับ


ได้มุมป้าน 25+25+25 = 75 มุม

(เลขในภาพมีหน่วยเป็นองศา)

[banker]

"The angle between any two rays is taken to be less than or equal to $180^{\circ}$"

แปลว่า มุม $1^{\circ }$ ถึง $180^{\circ}$ ได้หมดหรือเปล่า

ถ้าน้อยกว่า 90 ก็ใช้ได้ คงต้องบวกไปอีก 10+10+10 = 30 หรือเปล่าครับ

เขาบอก "equal to $180^{\circ}$" ก็น่าจะได้เส้นตรง(180 องศา)อีก 2 เส้น หรือเปล่าครับ


ถ้าจะให้จำเพาะ ดิ้นไม่ได้คงต้องใช้คำว่า
"The angle between any two rays is taken to be more than $90^{\circ}$ and less than $180^{\circ}$"

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

"The angle between any two rays is taken to be less than or equal to $180^{\circ}$"

ประโยคนี้ แค่จะบอกว่า เวลาดูมุมระหว่างรังสีใดๆ ให้ดูเฉพาะมุมที่ไม่เกิน 180 องศาครับ เพราะ ปกติ 2รังสีใดๆ จะเกิดมุมพร้อมกันอย่างมาก 2แบบอยู่แล้ว คือ หมุนด้านนึงเป็นมุมแหลม(หรือป้าน) หมุนอีกทิศเป็นมุมกลับ

โจทย์ยังคงถามหาจำนวนมุมป้านมากสุด เหมือนเดิมครับ

[Amankris]

#35
พิสูจน์ว่ามากที่สุดอย่างไรครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

พิสูจน์ว่ามากที่สุดอย่างไรครับ

ให้ รังสีทั้งหมดกระจายใน 4 quadrants a,b,c,d เส้นครับ ( ไล่จากซ้ายบนมาขวาล่าง)

เห็นได้ชัดว่า ระหว่าง 2 quadrants ที่ไขว้กัน เกิดมุมป้านแน่นอน ad+bc มุม

และ ระหว่าง 2 quadrants ที่ติดกัน จะสร้างมุมป้านได้มากสุด ab+ac+cd+bd มุม (โดยไล่จากมุมป้านมุมเล็กสุดด้านในแล้ว กระจายออกด้านข้างเหมือนที่คุณ banker วาดครับ) เพียงแต่จะเกิดได้ไม่ครบ 4 เทอม เพราะไม่งั้นจะทะลุ 360 องศา

สมมติ ac ไม่เกิด ดังนั้นก็ต้อง maximize
$ad+bc+ab+cd+bd = d(a+b+c) + b(a+c) = d(15-d) +b(15-b-d)= 15(b+d) - (b^2+bd+d^2) $

และเพราะ $ 15(b+d) - (b^2+bd+d^2)= 75- (b-5)(d-5) - (b-5)^2 - (d-5)^2 $

พิสูจน์ได้ไม่ยาก ว่าค่ามากสุดคือ 75 (เกิดเมื่อ b=d=5 ) ส่วน a,c เลือกให้ a+c =5 ก็พอแล้ว

[Amankris]

เข้าใจครับว่า ab+ac+cd+bd เป็นค่า Maximum ไม่ได้

เราจะแน่ใจอย่างไรว่า การตัด ac ไปทั้งก้อน จะให้ค่าสูงสุด

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

เราจะแน่ใจอย่างไรว่า การตัด ac ไปทั้งก้อน จะให้ค่าสูงสุด

ต้องบอกตรงๆว่า ตอนนี้ผมก็ยังไม่รู้ rigorous proof ตรงนี้เหมือนกันครับ เพียงแต่เท่าที่ผมลอง พยายามให้ มุมป้านวงในสุดมัน overlap กันให้ได้ทุก 2 quadrants ที่ติดกัน ก็ได้คำตอบไม่เกิน 75 หรือไม่ก็ ทะลุ 360 องศาไปเลยก็มี

ผมจึงคาดว่า maximum น่าจะเกิดได้เต็มที่แค่ 3 คู่ ของ quadrants ติดกัน

[กิตติ]

ข้อ12 ส่วน A....ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงสามจำนวนที่สอดคล้องกับ

$$\frac{a(b-c)}{b(c-a)}=\frac{b(c-a)}{c(b-a)} =k >0$$

สำหรับค่าคงที่ $k$
จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $k$

จริงๆโจทย์ถามว่า $k\geqslant m$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุด....โจทย์ถามค่า$m$ นั่นเอง
ผมจดโจทย์ไปทำตั้งหลายวัน กระจายพจน์ เตรียมใช้$AM-GM$ แต่ใช้ไม่ได้เพราะ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง
เพิ่งทำออกเมื่อกี้นี่เอง....ทำไมมันคิดง่ายๆก็ได้แต่มองข้ามไปข้ามมา

$k^2=\frac{a(b-c)}{b(c-a)}\times \frac{b(c-a)}{c(b-a)}$

$k^2=\frac{a(b-c)}{c(b-a)}$.....ตรงนี้เอา$b(c-a)$ ตัดกันได้เลยเพราะโจทย์กำหนดว่า $k>0$
ทำให้ได้ว่า $a,b,c\not= 0$ และ $a\not= b \not = c$

$k^2-1=\frac{a(b-c)}{c(b-a)}-1=\frac{b(a-c)}{c(b-a)} $

$k^2-1=-k$

$k^2+k-1=0$ และ $k>0$
จะได้ค่า $k=\frac{\sqrt{5}-1 }{2} $ และ $\frac{\sqrt{5}-1 }{2}<1$
จำนวนเต็มรวมเลขศูนย์ด้วย
จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $k$ คือเลข $0$
ไม่รู้ว่าคิดถูกหรือเปล่า....ท่านอื่นคิดได้เท่าไหร่กันบ้างครับ

[gon]

ข้อ 12. ผมโกงนิดหน่อย ใช้ความรู้ ม.ปลายเรื่องลำดับเรขาคณิตครับ

ถ้า $a_n = a_1r^{n-1}$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม เท่ากับ $r\ne 1$ แล้ว ผลต่างของพจน์ที่ติดกัน จะเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r ด้วย

การพิสูจน์

$b_n = a_n - a_{n-1} = a_1r^{n-1} - a_1r^{n-2} = a_1r^{n-2}(r-1)$

แล้วแสดงว่า $\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{a_1r^{n-2}(r-1)}{a_1r^{n-3}(r-1)} = r$

นั่นคือ $b_n$ จะเป็นลำดับเรขาคณิตด้วย

my_Solution

จากโจทย์จะเห็นว่า c(b-a) , b(c-a), a(b-c) เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนรวมเป็น k

หรือ bc - ac, bc - ab, ab-ac เป็นลำดับเรขาคณิต

ดังนั้น ac-ab, 2ab-bc-ac จะเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนรวมเป็น k ด้วย

นั่นคือ

$k = \frac{2ab-bc-ac}{ac-ab} = \frac{ab+ab-bc-ac}{a(c-b)}$

$= \frac{a(b-c)+b(a-c)}{a(c-b)} = -1+\frac{b(a-c)}{a(b-c)} = -1 + \frac{b(c-a)}{a(b-c)} = -1+\frac{1}{k}$
ก็จะได้ $k+1 = \frac{1}{k} \Rightarrow k^2+k-1 = 0$

[HL~arc-en-ciel]

ช่วยเฉลยข้อ 3. ประเภทบุคคลหน่อยครับ.. ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[-[S]ycoraX-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ไม่ทราบเหมือนกันครับ แต่ในความคิดผม
คือผมคิดว่าจำนวนนั้นต้องประกอบด้วย 7 กับ8 เท่านั้น
ผมเลยคิดว่าน่าจะตอบ 7888888 อ่ะครับ

ช่วยอธิบายวิธีคิิดหน่อยได้รึเปล่าครับ ขอบคุณครับ